Circunferencia, Hiperbola, Parabola y Elipse

Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un puntocualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia(x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a,b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de lacircunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemosx2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos   – 2a = D;     – 2b = E;     F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación  x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entoncestenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
 E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4).  Hallemos el radio
 F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6
Laecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llamanfocos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0)  y F' (– c,0). Tomemos un puntocualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. 
  AplicandoPitágoras tenemos que:
  
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente: 

Si la elipse estuviese centrada en un...