Circunferencia-Parábola

CIRCUNFERENCIA


Definición. Es el conjunto de puntos del plano equidistante de un punto fijo (centro), una distancia constante (radio). Esto es:
[pic]
Ecuación de la circunferencia.
1. Forma ordinaria.
Teorema. La ecuación de la circunferencia de centro en el punto [pic] y de radio r ( 0, tiene por ecuación. [pic]
Demostración.
Sea [pic] unpunto de la C de centro en [pic] y radio r, entonces [pic], entonces:
[pic]


2. Forma canónica. Si el centro Po está en el origen de coordenadas: [pic] entonces


Ejemplo. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos [pic] [pic]. Hallar la ecuación de la circunferencia.
Solución.
Sea [pic] un punto que pertenece a lacircunferencia.
Centro [pic]
Radio [pic]
Entonces [pic]



2. Forma general de la ecuación de la circunferencia.
Si desarrollamos la ecuación ordinaria de C: [pic]
[pic]
Haciendo [pic]
se tiene
Es la forma general de la ecuación de la circunferencia de centro el punto[pic] y radio [pic]
Ejemplo. Hallar laecuación de la circunferencia que pasa por los puntos [pic] y [pic]
Solución.
Sea [pic]
[pic]
Resolviendo el sistema (1), (2) y (3) se tiene:
[pic]
[pic]

Tangente a una curva.
Dada la ecuación de la curva C: [pic] (1)
Y la ecuación de la recta L: [pic] (2)
Tenemos un sistema formado por las ecuaciones (1) y (2).
Reemplazando (2) en (1) ysimplificando se tiene la ecuación [pic] (3)

Interpretación geométrica de las raíces de la ecuación (3):

i) Si [pic] ( la ecuación (3) tiene dos raíces reales y diferentes, entonces la recta y la curva se intersecan en dos puntos diferentes, teniendo una recta secante a la curva.
ii) Si [pic] ( la ecuación (3) tiene dos raíces reales e iguales, entonces la recta y lacurva solo tienen un punto común (punto de tangencia); la recta es tangente a la curva.

Condición de tangencia
iii) Si [pic] ( la ecuación (3) no tiene raíces reales, entonces la recta y la curva no tienen puntos comunes.

Tangente a una circunferencia.
Casos:
1. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto de contacto.[pic],
[pic], m: parámetro.
2. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada conociendo su pendiente.
[pic]
[pic], b: parámetro.
3. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia

dada y que pasa por un punto exterior dado.
[pic]
[pic], m: parámetro.

TEOREMA

La ecuación de la recta tangente a la circunferencia C: (x ( h)² + ( y ( k)² = r² , que pasa por el punto P(x1, y1) ( C es:

T: y ( y1 = mT (x ( x1) donde:

[pic] pendiente de la tangente


Ejercicios.
1. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia [pic]en el punto [pic]
2. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia [pic] que tengan pendiente [pic].


PARÁBOLA.

Definición. Parábola, Es el conjunto depuntos del plano tales que la distancia a una recta fija (directriz), situada en el plano, es siempre igual a la distancia a un punto fijo del plano (foco)y que no pertenece a la recta, esto es:
[pic]
Elementos:
[pic]: Foco
[pic]: Eje focal (eje de la parábola).
[pic]: Recta directriz [pic].
[pic]
[pic]: Vértice (punto mediode [pic]).
[pic]: Cuerda
[pic]: Cuerda focal
[pic]: Lado recto [pic]
[pic] : Radio focal o radio vector
Ejercicio 1: Hallar la ecuación de la parábola de foco [pic] y directriz [pic].
Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la parábola de vértice (0,0) y foco [pic].

1. Ecuación Ordinaria de la parábola de vértice el punto (h, k) y eje paralelo a un eje de coordenadas.
1.1 Eje...