circunferencia y otros lugares geométricos






Índex
7.1 Equació de la circumferència 2
7.2 Determinació del centre i el radi 3
7.3 Circumferència que passa per tres punts 4
Mediatriu del segment PQ: 4
Mediatriu del segment PR: 4
7.4 Circumferència tangent a una recta 5
7.5 Posicions relatives de rectes i circumferències 6
Recta i circumferència 6
Dues circumferències 7
Punt i circumferència 7
7.6 Recta Tangent a una circumferència 8Recta tangent a una circumferència des d’un punt exterior 8
7.7 Potència d’un punt respecte d’una circumferència 10
Eix radical de dues circumferències 10
Centre radical de tres circumferències 10
7.8 La paràbola 11
7.9 L’el·lipse 11
7.10 La hipèrbola 12
Curiositats 13



7.1 Equació de la circumferència

Circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d’un punt fix, elcentre, una distància igual al radi.
Tots i cadascuns dels punts de la circumferència equidisten del centre C i aquesta distància comuna és el radi. Podem, doncs , escriure la igualtat:
d(C.P)= r
La distància entre els punts C i P és el mòdul del vector CP. Per tant:
d(C,P)= CP = √(x – a) + (y – b) =r
Si elevem al quadrat els dos membres de l’últim igualtat, tenim:
(x – a)2 + (y – b)2= r2
Aquestaexpressió és l’equació de la circumferència de centre C(a, b) i radi r.











7.2 Determinació del centre i el radi

En l’equació de la circumferència de centre C(a,b) i radi r que hem obtingut, podem transformar l’expressió tot fent operacions:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 -> x2 -2ax + a2 + y2 -2by + b2 =r2
Que podem escriure: x2 + y2 – 2ax -2by + a2 + b2 – r2= 0
Aquesta equació consta de:
●unterme en x2 i un en y2 amb coeficient 1
●Un terme en x amb coeficient -2a
●Un terme en y amb coeficient -2b
●Un terme independent: a2 + b2 – r2
És a dir, és una equcio del tipus: x2 + y2 + mx + ny + p= 0
Per tal que una equació del tipus sigui l’equació d’un circumferència. Cal que es pugui identificar amb x2 + y2 –2ax – 2ab + a2 + b2 – r2 = 0. Això vol dir que s’han de verificar les igualtatssegüents:
M = -2a
N=-2b
P= a2 + b2 – r2 , on a i b són les coordenades del centre de la circumferència i r, el radi.



7.3 Circumferència que passa per tres punts

Donats tres punts P, Q i R no alineats hi ha una única circumferència que els conté. El centre és el circumcentre del triangle que determinen els tres punts. El radi és la distància del centre a qualsevol dels tres punts.
Considerem elspunts P(0,-1), Q(1,1) i R(3,0). Quina és l’equació de la circumferència que determinem?
Els punts P, Q, i R no estan alineats. Cada dos d’aquests punts determinen un segment i els tres punts són els vèrtex d’un triangle. Si els tres punts estiguessin alinetas, no determinen una circumferència.
Busquem el centre de la circumferència que és el punt d’intersecció de dues mediatrius qualsevol.Mediatriu del segment PQ:
Vector PQ = (1,2). Un vector perpendicular a PQ és (-2,1).
Pendent: m=- i passa pel punt mitjà de PQ,( , 0)
Y=- X +
Mediatriu del segment PR:
Vector PR= (3,1). Un vector perpendicular PR és (-1,3).
Pendent: m= -3 i passa pel punt mitjà de PR, ( , -)
Y=-3x + 4
El centre: y=- x
Y= -3x + 4

El radi: d(C, P)= )2 + (-1 + )2 = =
Ara podem escriure l’equació dela circumferència:
( x- )2 + ( y + )2 =
Si desenvolupem els quadrats i fem operacions queda:
X2 + y2 – 3x + y = 0
També es pot arribar a aquesta equació si comencéssim a partir de l’expressió:
X2 + y2 + mx + ny + p = 0
Imposant la condició que cadascun dels punts P, Q i R la verifiqui:P(0,-1) -> 1-n+p= 0
Q(1,1) -> 1+1+m+n+p = 0
R(3,0) -> 9 +3m + p = 0
Tenim un sistema de tres equacions amb tres incògnites. El resolem:
-n + p =-1
M+ n + p = -2
3m + p= -9
Conegut el valor de p , la primera equació ens permet obtenir n= 1 i la tercera m =-3. Substituint Aquests valors en l’equació, tenim: x2 + y2 – 3x + y = 0
Evidentment, es tracta...