Circunferencia

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA CIRCUNFERENCIA
CONTENIDO
1.

Ecuación común de la circunferencia
Ejemplos

2.

Ecuación general de la circunferencia
2.1

3.

Análisis de la ecuación

Ejercicios

Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de
la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar
geométrico yse demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en
x o y, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente:

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
En la cual los coeficientes A, B y C no son todos cero.
Estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola,
llamadas CÓNICAS debido a que se pueden describircomo las curvas que se generan al
intersectarse un plano con un cono circular.
De las cuatro curvas cónicas,
la circunferencia es la más simple y
geométricamente se describe como la
intersección de un cono recto
circular y un plano paralelo a la
base del cono, como se muestra en la
Figura 1.
DEFINICIÓN. La circunferencia es el
lugar geométrico de
todos los puntos de un
plano queparticipan de
la
propiedad
de
equidistar de un punto
fijo llamado centro.

1.

ECUACIÓN COMÚN DE LA CIRCUNFERENCIA.

Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son bien
conocidas, supondremos que el centro es el punto C(h, k) y que el radio es una constante a,
como se muestra en la Figura 2.
4. LA CIRCUNFERENCIA
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓNPARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

4-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sea M(x, y) un punto cualquiera de
la circunferencia con centro en C(h, k) y
radio igual a a. Por definición, el radio es
una constante, por lo que la condición de
movimiento de M es:

M C = CONSTANTE = a

(1)

Aplicando la fórmula de la distancia
entre dos puntos, tenemos:
2

MC=

( x -h) +( y -k )

2Sustituimos en (1):
2

( x -h ) +( y -k )

2

=a

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, nos queda:
2

2

( x - h ) + ( y - k ) = a 2 ................................................................................................(I)

Esta es la ecuación común de la circunferencia, correspondiente a una ecuación
cartesiana, cuyos parámetros, además del radio a, sonla abscisa h y la ordenada k del centro,
cuyas coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la ecuación.

EJEMPLOS
1.

2

2

En el caso de la circunferencia ( x - 3 ) + ( y + 2 ) = 36 , tendremos:
h = 3 , k = -2 y que a2=36. Por tanto: a = 6
Es decir:
Centro: C(3,-2); Radio: a = 6

2.

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (5,2) y radioigual a 4.

SOLUCIÓN
De acuerdo con los datos tenemos: h = 5, k = 2 y a = 4.
Sustituyendo en la ecuación (I) estos valores, se tiene:
2

2

( x - 5 ) + ( y - 2 ) = 16

3.

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (-3,4) y radio igual a 5.

4. LA CIRCUNFERENCIA
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

4-2GEOMETRÍA ANALÍTICA

SOLUCIÓN
De acuerdo al enunciado se tiene:
h = -3; k = 4 y a = 5. Por tanto: a2 = 25
Según la ecuación (I), sustituyendo estos valores tenemos:
2

2

( x + 3 ) + ( y - 4 ) = 25

Es perfectamente claro que cuando una circunferencia tiene su centro en el origen,
h = 0 y k= 0, la ecuación simplemente es:
2

2
2
x +y =a

La posición y tamaño de la circunferenciadepende de las tres constantes arbitrarias h,
k y a.

2.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

En muchos problemas se presenta desarrollada la ecuación de la circunferencia, en
cuyo caso interesa saber conocerla y poder determinar su centro y su radio. Por lo pronto
vamos a desarrollar la ecuación común (I) y establecer ciertas conclusiones.
2

2
2
2
2
x - 2h x +h + y - 2k y +k...