circunferencia

CIRCUNFERENCIA
UNA CIRCUNFERENCIA, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto.
Es una curva plana donde cualquiera de sus puntos equidista del centro.
Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.
LAECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA de centro (h, k) y radio r es

Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma x2 + y2 = r2. Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo
x2 + y2 + Dx + Ey + F=0. Si escribimos esta ecuación en la forma
.x2 + Dx + y2 + Ey + F = 0
y sumamos y restamos los términos que se indican para completar cuadrados, se tiene,El centro es el punto y el radio
Si D2 + E2 – 4F > 0, la circunferencia es real.
Si D2 + E2 – 4F < 0, la circunferencia es imaginaria.
Si D2 + E2 – 4F = 0, el radio es cero y la ecuación representa al punto .
PROBLEMAS
1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–2, 3) y radio 4.
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 16, o bien, x2 + y2 + 4x — 6y =3.
2. Halla las coordenadas del centro yel radio de la circunferencia
a) sumando y restando los términos adecuados para completar cuadrados,
b) aplicando la formula general.
a) Luego el centro es el punto y el radio
b) =
3. Halla el valor de k para que la ecuación represente una circunferencia de radio 7.


4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,– 2) y que pase por el punto (–1, 5). El radio de lacircunferencia es . Luego (x – 5)2 + (y + 2)2 = 85, o bien, x2 + y2 – 10x + 4y = 56.
5. Halle la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5, –1) y (–3, 7).

Las coordenadas del centro son
El radio es
Luego (x –1)2 + (y – 3)2 = 32, o bien, x2 + y2 – 2x – 6y = 22.
6. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (0, 0),tenga de radio r = 13 y la abscisa de su centro sea –12.
Como la circunferencia pasa por el origen.
o 144 +k2 = 169 Resolviendo; k2 = 169 – 144 = 25, k = ±5.
Luego, (x + 12)2 + (y – 5)2 = 169
y (x + 12)2 +(y+5)2= 169.
Desarrollando, x2 + y2 + 24x – 10y = 0 x2 + y2 + 24x + 10y = 0

7. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5, 3), (6,2) y (3, -1).Cada una de las expresiones
o contiene tres constantes indeterminadas con lo que serán necesarias tres condiciones para determinarlas. Como la circunferencia debe pasar por los tres puntos dados, se pueden hallar los coeficientes Sustituyendo las coordenadas de los puntos en lugar de x e y resolviendo, a continuación, las tres ecuaciones lineales
en D, E y F. Estas ecuaciones son
25 + 9 +5D + 3E + F = 0,
36 + 4 + 6D + 2E + F = 0,
9 + 1 + 3D – E + F = 0.
Resolviendo el sistema se obtiene, D = –8, E = –2 y F = 12.
Sustituyendo estos valores de D, E y F, resulta la ecuación de la circunferencia
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3) y (–1, 1) y cuyo centro está situado en la recta x – 3y –11=0.
Sean (h, k) las coordenadas del centro de lacircunferencia. Como (h, k) debe equidistar de los puntos (2, 3) y (–1, 1),

Elevando al cuadrado y simplificando, 6h + 4k – 11.
Como el centro debe estar sobre la recta x – 3y – 11 =0 se tiene, h – 3k –11 = 0.
Despejando los valores de h y k de estas ecuaciones se tiene ,
Por tanto
La ecuación pedida es desarrollando se tiene:

8. Halla la ecuación de la circunferencia inscrita enel triangulo cuyos lados son las rectas 2x – 3y + 21 =0, 3x – 2y – 6 = 0, 2x + 3y + 9 = 0.
Como el centro de la circunferencia es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triangulo será necesario hallar, previamente, las ecuaciones de dichas bisectrices. Sean (h, k) las coordenadas del centro. Para determinar la primera bisectriz (utilizando la fórmula de la...