circunferencia

C u r s o : Matemática
Material N° 16
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA:

RADIO:

Dado un punto O y una distancia r, se llama
circunferencia de centro O
y radio r al
conjunto de todos los puntos del plano que están
a la distancia r del punto O.
Trazo

O

cuyos extremos son el centro de la

Trazocuyos extremos son dos puntos de una
circunferencia ( DE ).

DIÁMETRO:

Cuerda

que

contiene

cuerda

D

circunferencia y un punto de ésta ( OA ).
CUERDA:

0: Centro
r: Radio
C(O,r) = (O,r)

r

centro

de

la

arco

diámetro

B

O

secante

al

E

P

radio

Q

T

circunferencia ( BC ).

C
A
M

tangente

SECANTE:

Recta que intersecta endos puntos a la circunferencia (PQ)

TANGENTE:

Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.

ARCO:

Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de
ella (CE)

ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro
de la circunferencia y sus lados son radios de la
misma ( EOD).

ÁNGULO INSCRITO:

DO
E
H

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas
de ésta ( FHG).

G
F

EJEMPLO

1.

¿Cuál de las siguientes opciones es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)

El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio
La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro
En circunferencias congruentes los radios son congruentes
Al cortarsedos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro
Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

1

2.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, el valor de α es

A)
B)
C)
D)
E)

10º
20º
40º
80º
140º

C
O
a
A

20º

fig. 1

B

3.

En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2,¿cuánto mide el

A)
B)
C)
D)
E)

22º
34º
36º
44º
68º

C
fig. 2
O

A

4.

BCA?

En la circunferencia de centro O de la figura 3,

BOA = 70º y

68º

B

COB = 40º. ¿Cuánto mide el

ángulo ABC?
A)
B)
C)
D)
E)

140º
125º
120º
110º
95º

O
C

A
B

2

fig. 3

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a lamedida del ángulo del centro que
subtiende dicho arco.
D

DE =

α O

EOD = α
E

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que
subtiende el mismo arco.
C
D
1
β
β=
α
β
E
2
0
β
0
0
α
α
α
A

B

A

B

A

B

O: centro de la circunferencia

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), secumple que BA ≅ DC y AED + CB = 3 BA .
Entonces, la medida del x es

A)
B)
C)
D)
E)

C

45º
60º
72º
84º
90º

B
x
A

D
O

fig. 1
E

2.

AC

y

BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si

entonces el

A)
B)
C)
D)
E)

BOA = 2 COB,

CDB mide

30º
35º
45º
600º
120º

E

D
C
fig. 2

O
A

3

B

TEOREMA

Todos losángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual
medida.
β
α
α=β
B
A

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
C
BCA = 90º

A

O: centro de la circunferencia

B

O

TEOREMA

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
D
α + γ = 180º
β + δ = 180º

δ
α

γ

C

βA

B

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

O

QP tangente en P ⇒ QP ⊥ OP

Q

r
P

EJEMPLOS

1.

En la figura 1,
A)
B)
C)
D)
E)

TPQ = 140º y

QRP = 15º. ¿Cuánto mide el

15º
20º
25º
30º
35º

PQT?

T

R
fig. 1
P

4

Q

2.

AC es diámetro de la circunferencia de centro O (fig....