Circunferencia

Fatela
Preuniversitarios

Matemática: Guía ° 7 : "Circunferencia"
y "Otros Elementos de Geometría Analítica"
Una circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro.
Por Pitágoras, se cumple:
Centro
C (0;0)

y

x 2 + y 2 = R2

P (x;y)
y

R

y

x

x

Ecuación de una
circunferencia de radio
"R" centrada en el origen

Lospuntos del plano P(x;y) que satisfagan
esta ecuación pertenecen a la circunferencia.
Si:

x2 + y2 < R2 ⇒ P(x;y) es punto interior a la circunferencia

Si:

x2 + y2 > R2 ⇒ P(x;y) es punto exterior a la circunferencia

Si la circunferencia no está centrada en el origen, la ecuación es:
Tomamos un sistema de
y
referencia auxiliar x'y':
y'
Centro
Por Pitágoras:
C (h;k)
P (x';y') ≡(x;y)
y'
(x')2 + (y')2 = R2
R
y'
x'
Como:
x'
y
x' = x − h
k
x
h
x
Forma Canónica de la Circunferencia

y' = y − k
Reemplazando:

(x − h)2 + (y − k)2 = R2
Matemática - Circunferencia, - 1 -9

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Preuniversitarios

Como vemos, la forma canónica de la ecuación de la circunferencia tiene
tres parámetros: las coordenadas del centro "h", "k" y el radio "R".
Por ejemplo:
y(x − 3)2 + (y − 1)2 = 22

4
3

h

2

R=2

1
x
0

1

2

3

4

k

R

Las coordenadas del centro
"h" y "k" aparecen con el
signo cambiado en la
forma canónica.

5

En este caso el centro se halla en C (3;1) y el radio es R = 2.
Para practicar:

Dadas las siguientes ecuaciones en la forma canónica,
obtener las coordenadas del centro "h" y "k", el radio
"R" ygraficar.
(Verificar con el Simulador “Circunferencia”)

a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9
b)

C (h; k) = (2;−1) R = 3

x 2 + (y − 3 )2 = 1

C (h; k) = (0; 3)

c) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16

R=1

C (h; k) = (−4; 2) R = 4

Existe además la forma general de la ecuación de la circunferencia, a la
que puede llegarse operando sobre la forma canónica:
Dada la forma canónica

(x − 3)2 + (y −1)2 = 22

x2 + 2 x (−3) + (−3)2 + y2 + 2 y (− 1) + (− 1) 2 = 4
x2 − 6 x + 9 + y2 −2 y + 1 = 4
x2 + y2 − 6 x −2 y + 9 + 1 − 4 = 0

Desarrollamos
los cuadrados
de los binomios

Reagrupamos
Matemática - Circunferencia, - 2 -9

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Preuniversitarios

x2 + y2 − 6 x −2 y + 6 = 0

Forma general de la ecuación de
la circunferencia dada.

En forma genérica, la ecuación general dela circunferencia es:

x2 + y2 + D x + Ε y + F = 0

Forma general de la ecuación de
la circunferencia.

Esta forma también tiene tres parámetros: "D", "E" y "F", pero estos
valores no son fácilmente relacionables con los parámetros "geométricos" de
la circunferencia: las coordenadas del centro "h" y "k" y el radio "R".
Ahora veremos la relación matemática que existe entre estos dosjuegos
de parámetros:
2

2

La forma canónica es, genéricamente: (x − h) + (y − k) = R

2

x2 + 2 x (−h) + (−h)2 + y2 + 2 y (− k) + (− k) 2 = R2 Desarrollamos
2

2

2

2

x −2hx+h +y −2ky+k =R

2

x2 + y2 − 2 h x − 2 k y + h2 + k2 − R2 = 0
x2 + y2 + D x + Ε y + F = 0
De donde:

D=−2h
E=−2k
F = h 2 + k 2 − R2

los cuadrados
de los binomios
Reagrupamos

Forma generalFórmulas que permiten el
pasaje desde la forma
canónica a la general de
una circunferencia.
Canónica

General

Se recomienda que el alumno no memorice estas fórmulas, sino que
proceda a desarrollar los cuadrados de los binomios, como en el ejemplo antes
mencionado para lograr el pasaje desde la forma canónica a la general de la
circunferencia.

Matemática - Circunferencia, - 3 -9Fatela
Preuniversitarios

Para practicar:

Dadas las siguientes ecuaciones en la forma canónica,
obtener la forma general.
(Verificar con el Simulador “Circunferencia”)

a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9
b)

x2 + y2 − 4 x + 2 y − 4 = 0

x 2 + (y − 3 )2 = 1

x2 + y2 − 6 y + 8 = 0

c) (x + 4)2 + (y − 2)2 = 16

x2 + y2 + 8 x − 4 y + 4 = 0

Si se dispone de la forma general de una...