Circunferencia

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LA
CIRCUNFERENCIA

4.1 INTRODUCCIÓN
Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro.
A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo menos "un cuadrado". Para todas ellas existe, como un primerpaso, el mismo procedimiento para transformar su ecuación de la forma general a la forma particular, el cual consiste en dividir toda la
ecuación general entre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables
"al cuadrado".
En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general es

Ax 2 + B y 2 + D x + E y + F = 0
pero como se mencionó en las páginas 17 y 18 alhablar del análisis de la ecuación general,
para que sea circunferencia se requiere que "los cuadrados sean iguales", es decir, que A = B .
Por lo tanto, cuando se trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse como

Ax 2 + Ay 2 + D x + E y + F = 0
Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, esta
ecuación queda dividida entre A ,de la siguiente forma:

A 2 A 2 D
E
F
x +
y +
x+
y+
=0
A
A
A
A
A
que simplificada resulta

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LA CIRCUNFERENCIA

x2 + y2 +

Al final de cuentas, los coeficientes

D
E
F
x+
y+
=0
A
A
A
D
E
F
,
, y
son números también, por lo que,
A
A
A

para simplificar la escritura, se renombran de la siguiente manera:

D
se renombra como D ;
A
E
serenombra como E ;
A
F
se renombra como F ;
A
por lo que la ecuación en forma general de la circunferencia se acostumbra escribir de la siguiente manera:

La ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

(3.1)

Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una información bastante
limitada acerca de las características de la figura; en cambio, con laecuación particular se obtienen los datos necesarios para identificar plenamente a la cónica respectiva. En el caso de la
circunferencia, sus características principales son la ubicación del centro y la medida del radio. La ecuación en forma particular proporciona esa información.

La ecuación particular de la circunferencia es
(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

(3.2)

En donde:
(h , k )
rindican las coordenadas del centro;
indica el valor del radio.

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En esta ecuación, h indica el valor de la abscisa del centro, es decir, el valor en x del desplazamiento del centro, mientras que k indica
el valor de la ordenada del centro, es decir, el
valor en y del desplazamiento del centro. Ver
figura 4.1.

y
h
x

Debe tenerse muchocuidado en que los valores de las coordenadas del desplazamiento
del centro, ya que cambian de signo al momento de reemplazarse en la ecuación particular
debido al signo negativo que tiene su ecuación
particular.

k
(h, k)

Por ejemplo, si una circunferencia tiene ra-

figura 4.1

dio r = 4 y su centro en C ( 2 , − 3 ) , le corres-

ponden en este caso los valores de h = 2 y de
k =− 3 ; sin embargo, en la ecuación particular, por el signo menos que ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando

( x − 2)

2

+ ( y + 3 ) = 16
2

4.2 TRANSFORMACIONES
Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la misma
ecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones de una forma a la otra.
Paratransformar la ecuación de una circunferencia de su forma general a la particular es
conveniente practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinomio
cuadrático x 2 + D x + G , en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma

( x + m)

2

+ k , en donde también m y k son números cualesquiera. A éste último se le llama-

rá binomio al cuadrado...