circunferencia

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TEOREMAS
Teorema (48 Baldor): Distancia de un punto a una circunferencia
”La distancia minima de un punto a una circunferencia, es el menor de los dos
segmentos de normal comprendidos entreel punto y la circunferencia.”
1◦ Caso Punto Interior
Hipotesis:
P es un punto interior de la circunferencia O.
←
→
AB es la normal que pasa por P .
Tesis P A < P C
Demostracion: En el

OCP :OC < P C, (1) postulado de la distancia minima;
pero;
OC = OA = OP + P A, (2) Radios, suma de segmentos
Sustituyendo (2)en (1), tenemos:
OP + P A < OP + P C ∴ P A < P C

Y

C

B

OP

A

X

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2◦ Caso El punto es exterior
Hipotesis:
P es un punto exterior de la circunferencia O.
←
→
AB es la normal que pasa por P .
Tesis P A < P C
Demostracion: En el

OCP :P A + OA < P C + OC, (1) Un lado es menor que la suma de los otros dos;
pero;
OA = OC, (2) Radios
Sustituyendo (2)en (1), tenemos:
P A + OA < P C + OA ∴ P A < P C

Y

C

B

O

A

PX

3

Teorema (42 baldor) ”Un diametro divide a la circunferencia y al circulo
en dos partes iguales ”que se llaman semicircunferencias.
Hipotesis: AB es un diametro de la circunferencia C(O,k).
Tesis: AP B = AP B

Y

P

A

B

O
P

Construccion auxiliar: Tomemos un
punto cualquiera P , en uno de los arcos
en que AB divide a la circunferencia;
tracemos por P laperpendicular M al
diametro, que cortara a este. Liego unamos a P y P con O, se formara los
triangulos OM P y OM P .
X

Demostracion: En

OM P y

OM P : OM = OM ; Segmentos comunes

OP = OP ; por serradios de la circunferencia
∠OM P = ∠OM P = 90◦ ;por construccion
∴ OM P = OM P ; por tener iguales la hipotenusa y un cateto
∴ MP = MP
Si doblamos la circunferencia por AB hasta que p y Pcoincidan, tendremos: M P
coincidiran con M P . COmo este se verifica para todos los puntos de AP B, resulta AP B = AP B, A la vez las proporciones del plano comprendidas entre
los arcos y el diametro,...