Circunferencia
Páginas: 144 (35935 palabras)
Publicado: 7 de diciembre de 2012
C´lculo para la ingenier´ a ıa Tomo II
Salvador Vera 9 de enero de 2005
ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
´ Indice general
7. Series Num´ricas e 1 7.1. El signo del sumatorio: Sigma Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7.1.1. Propiedades del sumatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2. Series num´ricas. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . e 3 7.2.1. Convergencia y suma de la serie aplicando la definici´n . . . o 6 7.2.2. Dos series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7.2.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.2.4. La serie geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e 7.2.5. Convergencia y suma de la serie geom´trica . . . . . . . . . . 13 e7.2.6. Agrupaci´n y descomposici´n de t´rminos . . . . . . . . . . . 15 o o e 7.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.3.1. Series de t´rminos positivos (no negativos) . . . . . . . . . . 17 e 7.3.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.3.3. Series de t´rminos de signo cualesquiera . . . . . . . . . . . . 37 e 7.3.4.Aplicaci´n del criterio de D’ Alembert al c´lculo de l´ o a ımite de sucesiones 40 7.4. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4.1. Aplicando la definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 o e 7.4.2. Series geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.4.3. Series aritm´tico-geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 e e7.4.4. Series hipergeom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 e 7.4.5. Series telesc´picas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 o 7.4.6. Descomposici´n en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . 51 o 7.4.7. Series que se obtienen a partir del n´mero e . . . . . . . . . . 53 u Ejercicios y problemas del Cap´ ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.Series funcionales. Series de Fourier 87 8.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.3. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1.4. Propiedades de las series uniformementeconvergentes . . . . 89 8.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.2.1. Desarrollo de funciones en series de potencias . . . . . . . . . 96 8.2.2. Desarrollo de funciones en series de potencias a partir de otros desarrollos conocidos100 8.2.3. Derivaci´n e integraci´n de las series de potencias . . . . . . 103 o o 8.2.4. Aplicaciones de las series depotencias para el c´lculo de integrales definidas110 a 8.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.3.1. Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 o
iii
iv
8.3.2. 8.3.3. 8.3.4. Ejercicios y
´ INDICE GENERAL
Serie de Fourier de periodo 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Condiciones suficientes de la desarrollabilidad deuna funci´n en serie de Fourier117 o Desarrollo de las funciones pares e impares en series de Fourier122 problemas del Cap´ ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 161 163 164
Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos Bibliograf´ ıa ´ Indice alfab´tico e
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
Cap´ ıtulo 7
Series Num´ricas e
7.1. El signo delsumatorio: Sigma Σ
La suma de n t´rminos consecutivos se representa de la siguiente forma: e a1 + a2 + · · · + an = n ai i=1
L´ ımite superior L´ ımite inferior ´ Indice
El ´ ındice del sumatorio puede ser cualquier letra, normalmente se utilizan las letras i, j, k, n; pero no puede coincidir con los l´ ımites de la suma. As´ ı, a3 + a4 + · · · + an =
n n
ak =
k=3
n=3
an
Nota: El...
Salvador Vera 9 de enero de 2005
ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
´ Indice general
7. Series Num´ricas e 1 7.1. El signo del sumatorio: Sigma Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7.1.1. Propiedades del sumatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2. Series num´ricas. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . e 3 7.2.1. Convergencia y suma de la serie aplicando la definici´n . . . o 6 7.2.2. Dos series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7.2.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.2.4. La serie geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e 7.2.5. Convergencia y suma de la serie geom´trica . . . . . . . . . . 13 e7.2.6. Agrupaci´n y descomposici´n de t´rminos . . . . . . . . . . . 15 o o e 7.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.3.1. Series de t´rminos positivos (no negativos) . . . . . . . . . . 17 e 7.3.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.3.3. Series de t´rminos de signo cualesquiera . . . . . . . . . . . . 37 e 7.3.4.Aplicaci´n del criterio de D’ Alembert al c´lculo de l´ o a ımite de sucesiones 40 7.4. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4.1. Aplicando la definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 o e 7.4.2. Series geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.4.3. Series aritm´tico-geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 e e7.4.4. Series hipergeom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 e 7.4.5. Series telesc´picas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 o 7.4.6. Descomposici´n en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . 51 o 7.4.7. Series que se obtienen a partir del n´mero e . . . . . . . . . . 53 u Ejercicios y problemas del Cap´ ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.Series funcionales. Series de Fourier 87 8.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.1.3. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1.4. Propiedades de las series uniformementeconvergentes . . . . 89 8.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.2.1. Desarrollo de funciones en series de potencias . . . . . . . . . 96 8.2.2. Desarrollo de funciones en series de potencias a partir de otros desarrollos conocidos100 8.2.3. Derivaci´n e integraci´n de las series de potencias . . . . . . 103 o o 8.2.4. Aplicaciones de las series depotencias para el c´lculo de integrales definidas110 a 8.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.3.1. Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 o
iii
iv
8.3.2. 8.3.3. 8.3.4. Ejercicios y
´ INDICE GENERAL
Serie de Fourier de periodo 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Condiciones suficientes de la desarrollabilidad deuna funci´n en serie de Fourier117 o Desarrollo de las funciones pares e impares en series de Fourier122 problemas del Cap´ ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 161 163 164
Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos Bibliograf´ ıa ´ Indice alfab´tico e
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
Cap´ ıtulo 7
Series Num´ricas e
7.1. El signo delsumatorio: Sigma Σ
La suma de n t´rminos consecutivos se representa de la siguiente forma: e a1 + a2 + · · · + an = n ai i=1
L´ ımite superior L´ ımite inferior ´ Indice
El ´ ındice del sumatorio puede ser cualquier letra, normalmente se utilizan las letras i, j, k, n; pero no puede coincidir con los l´ ımites de la suma. As´ ı, a3 + a4 + · · · + an =
n n
ak =
k=3
n=3
an
Nota: El...
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