Circunferencia

VIII. CIRCUNFERENCIA
8.1. LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto P ( x, y ) cualquiera,
que se mueve sobre el plano x, y de tal manera que su distancia a un punto fijo
C (h, k ) llamado centro es una constante “ r ” llamada radio de la circunferencia.

8.2. FORMAS ORDINARIA (CANÓNICA) Y GENERAL DE LA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIADe acuerdo con la definición anterior, su interpretación analítica aplicando la fórmula
de la distancia entre 2 puntos del plano, es:

PC = r

( x − h )2 + ( y − k )2

= r elevando al cuadrado

( x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
La ecuación
es la FORMA ORDINARIA de la circunferencia y nos permite obtener
con rapidez y facilidad las coordenadas del centro C (h, k ) y la magnitud de su radio “ r ”,elementos suficientes para dibujar su gráfica, y viceversa, si se conocen las coordenadas del
centro y la longitud del radio, la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria podrá
escribirse inmediatamente.
•
•

Esta ecuación
se satisface únicamente para puntos del plano cuya distancia al
centro C (h, k ) es “ r ”.
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas C (h, k ) =(0,0 ) ,
la ecuación

•

resulta x 2 + y 2 = r 2

Desarrollando algebraicamente la ecuación (x − h ) + ( y − k ) = r 2 se tiene:
2

x 2 − 2hx + h 2 + y 2 − 2ky + k 2 = r 2
x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 = 0
denotando D = −2h , E = −2k , F = h 2 + k 2 − r 2

196

2

Obtenemos la ecuación x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Esta ecuación
circunferencia.
•

recibe el nombre de FORMA GENERAL de laecuación de una

En la sección 7.2 se dijo que la ecuación general de segundo grado
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 representa una circunferencia si los coeficientes
A = C y B = 0 , quedando la ecuación en la forma Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 , esto
nos hace ver que cuando los coeficientes A = C no sean igual a la unidad, dividiendo
la ecuación entre A se tiene:
Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 00
=
A
A

x2 + y2 +

E
F
D
x+ y+ =0
A
A
A

logrando así expresar la ecuación de la circunferencia en la forma general
•

.

Cuando se conoce la forma general de una circunferencia , esta puede reducirse a
su forma ordinaria
por medio del método de completar los cuadrados en los
términos en “ x ” y en los de “ y ” como se mostrará en los siguientes.
EJEMPLOS

En cada inciso, conocidas lascoordenadas del centro de una circunferencia y la
magnitud de su radio, se pide obtener sus ecuaciones en forma ordinaria, general y hacer un
dibujo de su gráfica.
1) C (− 2,3) ; r = 3
Solución
Sabemos que la forma ordinaria es: (x − h ) + ( y − k ) = r 2
2

2

Por simple sustitución de la información dada se tiene:

[x − (− 2)]2 + ( y − 3)2 = (3)2
(x + 2)2 + ( y − 3)2 = 9

Forma ordinaria

Desarrollandoalgebraicamente la forma ordinaria:
x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = 9 ; x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 = 0 Forma general

197

•

Una segunda forma de obtener la ecuación en
la forma general puede ser la siguiente:
Si sabemos que D = −2h = −2(− 2 ) = 4
E = −2k = −2(3) = −6

F = h 2 + k 2 − r 2 = (− 2 ) + (3) − (3) = 4
2

2

2

Sustituyendo estos valores en la forma general
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 setiene:

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 = 0 Forma general.

Recordemos que D = 4 y E = −6 indican que el centro se localiza fuera del origen y F = 4
indica que la circunferencia no pasa por el origen.
2) C (− 1,0 ) ; r = 2
Solución

( x − h ) 2 + ( y − k )2 = r 2
[x − (− 1)]2 + ( y − 0)2 = (2)2
(x + 1)2 + y 2 = 4 Forma ordinaria

Si

x 2 + 2x + 1 + y 2 = 4
x 2 + y 2 + 2 x − 3 = 0 Forma general

Como E= 0 , el centro se localiza sobre el eje “ x ”, F = −3 indica
que la circunferencia no pasa por el origen.
3) C (0,−3) ; r =

5
2

Solución
Como (x − h ) + ( y − k ) = r 2
2

(x − 0)

2

+ [ y − (− 3)]

2

x 2 + ( y + 3) =
2

198

2

5
= 
2

2

25
Forma ordinaria
4

x2 + y2 + 6y + 9 −

25
=0
4

4 x 2 + 4 y 2 + 24 y + 11 = 0 Forma general
D = 0 indica que el centro se localiza sobre el eje...