Circunferencias y poligonos regulares

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CAPÍTULO 4 CIRCUNFERENCIAS Y POLÍGONOS REGULARES.
INTRODUCCIÓN 4. La rueda ha sido considerada como una de las aplicaciones más importantes que el hombre haya realizado dentro de los últimos diez mil años. Sin ruedas no existiría nuestra civilización como la conocemos y la rueda es el mejor ejemplo de lo que llamamos circunferencia. En este capítulo se hace un estudio detallado yelemental de las circunferencias, sus cuerdas y diámetros. Se estudian los ángulos inscritos, semi-inscritos, interiores y exteriores. Se estudia la potencia de un punto respecto de una circunferencia y los ejes radicales. Se estudian así mismo los polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia. COMENTARIO 4.1. Al final del capítulo 1 se estudió la definición de circunferencia y, por razonesdidácticas, la escribiremos de nuevo. DEFINICIÓN 4.1. Una circunferencia de centro un punto O y de radio un número k > 0 es el conjunto de los puntos que están a la distancia k de O.
cuerda radio O P A diámetro O B

También se llama radio al segmento que une el centro O con cualquier punto P de la circunferencia. Este punto P se llama extremo exterior de ese radio. El segmento que une dos puntos deuna circunferencia se llama cuerda. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. También se llama diámetro al número 2k. Dos puntos se dicen diametralmente opuestos si son extremos de un diámetro. COMENTARIO 4.2. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto dado, y puede trazarse con un compás. Se ha usado la palabra radio en dossentidos. Cuando se diga el radio significará el número k > 0 y cuando se diga un radio significará un segmento. Lo propio ocurre con el vocablo diámetro. La notación O(A) denotará la circunferencia de centro O que pasa por el punto A, mientras que O(k) u O(AB) denotará la circunferencia de centro O y de radio k o AB. TEOREMA 4.1. Un diámetro en una circunferencia es la cuerda de mayor longitud.Demostración: C
D A O B

202 Sea AB un diámetro en O(k) y sea CD una cuerda en ella. Entonces OA = OB = OC = OD. Luego, AB = OA + OB = OC + OD > CD donde se usó la desigualdad triangular en el triángulo OCD. COMENTARIO 4.3. Este teorema indica que si CD es una cuerda en una circunferencia de radio k, entonces CD ≤ 2k. Nótese que CD = 2k sii CD es un diámetro. EJEMPLO 4.1. Sea A un punto de O(3).Halle un punto B en O(3) de modo que AB = m si (a) m = 2 (b) m = 7 Solución: Se traza A(m) con el compás hasta cortar a O(3) en el punto buscado B. En el caso (b) ello no es posible puesto que la cuerda AB mide 7 y sería mayor que el diámetro 6 lo cual es absurdo por el teorema anterior. EJEMPLO 4.2. Los extremos de dos diámetros en O(k) son los vértices de un paralelogramo. Solución:
D O A C BLos dos diámetros AB y CD se bisecan en O. Use el ejemplo 2.80. DEFINICIÓN 4.2. Un punto P dícese interior a O(k) si OP < k. El conjunto de los puntos interiores a una circunferencia se llama círculo. Un punto Q se dice exterior a O(k) si OQ > k. El conjunto de los puntos exteriores a una circunferencia se llama su exterior.
círcunferencia exterior círculo

COMENTARIO 4.4. Si un punto P estáen el plano de O(k), entonces los números OP y k satisfacen la ley de tricotomía: “Se cumple una y solamente una de las siguientes posibilidades: OP < k, OP = k, OP > k”. Esto indica que O(k) divide al plano en tres regiones excluyentes: el círculo de centro 0 y radio k, la circunferencia de centro O y radio k y el exterior de la circunferencia.
A

B O

203 Toda cuerda AB de O(k), que no esdiámetro, forma un triángulo isósceles AOB y por pons assinorum se ve que A = B. TEOREMA 4.2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda la biseca. Demostración:
O A C M B D

Sea AB un diámetro de O(k) que es perpendicular a una cuerda CD. Si M es la intersección de AB con CD, entonces OM es altura de la base CD en el triángulo isósceles DOC. Del ejemplo 2.18 se sigue que OM es la mediana de AB...