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Páginas: 10 (2269 palabras) Publicado: 22 de octubre de 2012
El principio del buen orden: inducción matemática

Dados dos enteros diferentes sabemos que o . Sin embargo, esto también es cierto si, en vez de ser enteros, y son números racionales o números reales. ¿Qué hace especial a la en este caso? Supongamos que tratamos de expresar el subconjunto de , mediante los símbolos de desigualdad > y . Vemos que podemos definir el conjunto de loselementos positivos de como

No obstante, cuando intentamos hacer lo mismo con los números racionales y reales vemos que
y

Pero no podemos representar o con ≥ como lo hicimos con

El conjunto es diferente de los conjuntos o por el hecho de que todo subconjunto no vacío de contiene un entero tal que sea , para todo ; es decir, contiene un elemento menor (o mínimo). Esto noocurre parao . Estos conjuntos en si mismos no contienen elementos mínimos: no existe un número racional positivo ni un número real positivo mínimo. Si q es un número racional positivo, entonces, como, tendríamos un número racional positivo más pequeño .
Estas observaciones dan lugar a la siguiente propiedad del conjunto .

Este principio sirve para distinguir a de o . Pero ¿conduce a algo quesea interesante o útil desde el punto de vista matemático? La respuesta es un rotundo “SI” es la base de una técnica de demostración conocida como inducción matemática. Esta técnica nos ayudara con frecuencia para demostrar una proposición matemática general relacionada con los enteros positivos, cuando algunos casos de esa proposición sugieran un patrón general.

Ahora estableceremos la base deesta técnica de inducción.

Teorema 1

Principio de inducción finita o principio de inducción matemática. Sea una proposición matemática abierta (o un conjunto de tales proposiciones abiertas), en la que aparece una o varias veces la variable n, que representa a un entero positivo.

a) Si es verdadera: y
b) siempre que sea verdadera (para algún particular, pero elegido al azar),entonces será verdadera; entonces es verdadera para todo .

Demostración: Sea una proposición abierta con las condiciones (a) y (b), y sea . Queremos mostrar que , así que para obtener una contradicción suponemos que . Entonces, por el principio del buen orden, tiene un elemento mínimo s. como es verdadera, por lo que s > 1 y, en consecuencia, es verdadera, lo que contradice que .La contradicción surge de la hipótesis . Por lo tanto. .

Hemos utilizado el principio del buen orden en la demostración del principio de inducción matemática. También es cierto que el principio de inducción matemática nos sirve para demostrar el principio del buen orden sin embargo, no nos detendremos en este punto por ahora. En esta sección, nuestro principal objetivo es comprender y utilizarel principio de inducción matemática.

En el enunciado del teorema 1, la condición de la parte (a) se conoce como la base de la inducción, mientras que la parte (b) se conoce como el paso inductivo.

La elección de 1 en la primera condición del teorema 1 no es obligatoria. Lo único que se necesita es que la proposición abierta sea verdadera para un primer elemento
Para que el proceso deinducción tenga un lugar de inicio. No necesitamos que sea verdadera como base de la inducción. El entero podría ser 5 o 1. Incluso podría ser 0 o negativo, puesto que el conjunto junto con {0} o cualquier conjunto finito de enteros negativos sigue siendo bien ordenado. (Si hacemos una demostración por inducción y partimos de , nos fijamos en el conjunto de todos los enteros negativosconsecutivos , unido con y .)
En estas circunstancias, podemos expresar el principio de inducción finita, usando cuantificadores, como

Podemos comprender mejor la razón de la validez de este método de demostración usando nuestra intuición, junto con la situación que se presenta en la figura


En la parte (a) de la figura vemos las primeras cuatro fichas de una disposición (ordenada)...
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