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MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
(Método Cíclico)

Es una de las técnicas de integración más ampliamente usadas, se obtiene de la fórmula para la derivada del producto de dos funciones.

Si uy v son funciones de la misma variable independiente, tenemos que:

Surge de: d (u v) = u dv + v du

Si se desea integrar: ∫ d (u v) = ∫ u dv + ∫ v du

Sise despeja: ∫ u dv = ∫ d (u v) - ∫ v du

( Se eliminan ∫ d )Finalmente: ∫ u dv = (u v) - ∫ v du (fórmula de integración
por partes)Esta fórmula expresa la integral ∫ u dv, en términos de otra integral: ∫ v du. Mediante una adecuada elección de u y dv pueden evaluarse más fácilmente la segunda integral que la primera. Cuandose eligen las sustituciones para para u y dv por lo general se considera que dv es el factor más complejo del integrando y puede integrarse directamente y que u es una función cuya derivada es unafunción más simple.

Las funciones que necesariamente se integran POR PARTES son:

Si n es impar:

∫ cscn θ dθ ó ∫ secn θ dθ


También:

∫ ln u du y∫ arc trigonométricas


El método de integración por partes es uno de los más útiles del Cálculo Integral. Para aplicar esta fórmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencialdada en dos factores, a saber, u y dv. No pueden darse instrucciones generales para la elección de esos factores, pero son útiles las siguientes:

dx es siempre una parte de dv;
debe ser posibleintegrar dv;
cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, ordinariamente es mejor elegir la de apariencia más complicada, con tal que pueda integrarse, como parte de dv....