Civica

CAPÍTULO

12

Trigonometría

Resumen del contenido
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus lados correspondientes tienen la
a
b
misma razón de longitudes. Digamos a
b . Pero las razones de las longitudes de
lados correspondientes de cada triángulo también son iguales: a a .
b
b
a
a
35

35

b

b

Ahora si dos triángulos rectángulos tienen un segundo ángulocongruente (además
de sus ángulos rectos), entonces sus terceros ángulos también serán congruentes
(por la conjetura de la suma angular en triángulos), de modo que los triángulos
serán semejantes (por AAA). Por ende, las razones de las longitudes de los lados
correspondientes de cada triángulo también son iguales. En otras palabras, todos los
triángulos rectángulos con una cierta medida de ánguloagudo, digamos 35°, son
semejantes entre sí. Entonces, las varias razones de las longitudes de los lados están
asociadas con cualquier ángulo agudo, y éstas son las mismas para todos los
triángulos rectángulos que contienen este ángulo.

Razones trigonométricas
El estudio de las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos se denomina
trigonometría. La razón entre las longitudes dedos lados en un triángulo rectángulo
se denomina razón trigonométrica. Las tres razones más comúnmente utilizadas —
seno, coseno y tangente— son el foco de este capítulo. El seno (abreviado sin) de un
ángulo es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa. Por ejemplo
el seno de 30° es 1 . Esto significa que en cualquier triángulo rectángulo con
2
un ángulo de 30°, el catetoopuesto al ángulo de 30° tiene 1 de la longitud de la
2
hipotenusa. El coseno (abreviado cos) de un ángulo es la razón entre el cateto
adyacente y la hipotenusa. La tangente (abreviada tan) es la razón entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente. Las razones trigonométricas para diversas medidas de
ángulos pueden buscarse en una tabla trigonométrica. También pueden hallarse
utilizando unacalculadora con teclas de sin, cos y tan. Por ejemplo, sin 30° dará 0.5
siempre y cuando la calculadora este en la modalidad de grados. Algunos problemas
requieren el inverso del seno, coseno o tangente —se conoce la razón de las
longitudes y se necesita el ángulo. El inverso también puede hallarse utilizando una
calculadora. Por ejemplo, sin 1 0.5 30.
Este capítulo se concentra principalmenteen triángulos rectángulos, pero cualquier
triángulo siempre puede dividirse en dos triángulos rectángulos. Entonces, la
trigonometría también nos ayuda a comprender otros tipos de triángulos y brinda
medios rápidos para trabajar con triángulos no-rectángulos de igual manera. La Ley
de los senos, la Ley de los cosenos y la conjetura del área SAS son válidas para todos
los triángulos.(continúa)

©2008 Key Curriculum Press

Discovering Geometry: Una guía para los padres

49

Capítulo 12 • Trigonometría (continuación)
Problema resumen
¿Cómo puede hallar el área de una parcela de tierra triangular cuyos lados tienen
5 km, 8 km y 9 km?
Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:
●
●
●

¿Qué sabes acerca del las áreas de los triángulos?
¿Quénecesitarías saber para aplicar la fórmula que usa la base y la altitud?
¿Cómo podrías determinar esas cantidades?

Ejemplos de respuestas
Su estudiante puede haber visto o no la fórmula de Herón en la exploración de
fórmulas de área alternativas del Capítulo 8. Esta fórmula da cerca de 19.9 km2.
Probablemente, los estudiantes pensarán en la fórmula estándar del área de un
triángulo, A 1 bh.Sin embargo la altura debe medirse perpendicularmente a la
2
base. Cualquier lado puede servir de base; para hallar la altitud con respecto a ese
lado, los estudiantes necesitan un ángulo. Pueden utilizar la Ley de los cosenos para
encontrar un ángulo en un extremo de la base elegida. Luego pueden aplicar la
conjetura del área de un triángulo SAS para hallar el área. Por ejemplo, si la base...