civil

CAPÍTULO 2. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES
2.1. Introducción
2.2. Teorema
2.3. Propiedades
2.4. Ejemplos
2.5. Integración de una función compuesta

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Capítulo 2
Integrales: Introducción y
propiedades

∫

∫ K· f ( x ) dx = K ∫ f ( x ) dx

∫

∫ 2·sen xdx
∫
b

(f ( x) + g(x))dx = ∫aff(x))dx + ∫ g(x )dx
( x dx
∫
⌠
⌡

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Capítulo 2
Integrales: Introducción y propiedades
2.1. Introducción
Una de las cuestiones esenciale s que trata el cálculo integral es la siguiente:
«Encontrar las funciones F(x) que tienen como derivada una función dada f(x)que se supone continua en un intervalo cerrado [a, b]».
Nuestro objetivo es, pues, calcular funciones F(x) conociendo su derivada
f(x). Las funciones que buscamos, llamadas funciones primitivas de la función
f(x), verificarán, por tanto, la igualdad: F '(x) = f(x).
Ejemplo

( )′

F(x) = x 2 es una primitiva de f(x) = 2x, ya que x 2 = 2x.
Se puede verificar fácilmente por derivación quela función f(x) = 2x + 5
admite como funciones primitivas distintas a:
F1 ( x ) = x 2 + 5x ; F2 ( x ) = x 2 + 5 x + 3 ; F3 ( x ) = x 2 + 5 x + C , siendo
C = constante.
Este ejemplo nos muestra que una función dada puede admitir una infinidad
de primitivas. Supondremos en lo que sigue que una función continua admite al
menos una función primitiva.

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2.2. Teorema
Si unafunción y = f(x) admite una función primitiva, F(x) ⇒ admite
infinitas funciones primitivas. Se trata de las funciones G(x) = F(x) + C, donde
C = constante.
Demostración
G '(x) = ( F(x) + C )' = F '(x) + C ' = f(x)
Notación
Denotaremos a todas las funciones primitivas de y = f(x) por el símbolo

∫ f ( x ) dx , que se denomina integral indefinida de f(x).

Utilizando las notacionesprecedentes se obtiene la siguiente equivalencia:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ f ( x ) = F' (x )

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24

Introducción al cálculo integral

2.3. Propiedades
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1) Si las funciones f(x) y g(x) admiten, respectivamente, por primitivas a
las funciones F(x) y G(x), la función f(x) +g(x) admite por función primitiva a
la función F(x) + G(x).
Sean F(x)= f ( x ) dx y G(x)= g (x ) dx , entonces:

∫

∫

[F(x)+G(x)]'=F '(x)+G '(x) = f(x) + g(x)⇒
Luego:

∫ [ f (x ) + g (x )] dx = F(x)+G(x)

∫ [ f (x ) + g (x )] dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

2) Si la función f(x) admite como primitiva a la función F(x) y k es una
constante arbitraria, la función k f(x) admite comoprimitiva a la función k F(x).
[k F(x)]' = kF '(x) = k f(x) ⇒

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∫ kf ( x ) dx = k ∫ f (x ) dx

2.4. Ejemplos
x2
3 2
+ 3C =
x + C1
∫
2
2
1
x −2
1
2) ∫ 3 dx = ∫ x −3 dx =
+C= − 2 +C
−2
x
2x
x3 / 2
2 3/2
3) ∫ x dx = ∫ x 1 / 2 dx =
+C=
x +C
3/ 2
3
4) ∫ 2sen x dx = 2 ∫ senx dx = 2(−cosx) + C = −2cosx + C
1) 3 x dx = 3

∫

5) 1dx =

∫ x dx = 3

∫ dx= x + C

x2
+ 2x + C
2
x5
x3
x2
7) ∫ (3 x 4 − 5 x 2 + x ) dx = 3
−5
+
+C
2
5
3
6)

∫ ( x + 2) dx = ∫ x dx + ∫ 2dx =

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Integrales:Introducción y propiedades

8)

∫

25

x +1
dx =
x

x
1
dx + ∫
dx = ∫ x 1 / 2 dx + ∫ x −1 / 2 dx =
∫ x
x
3/ 2
1/ 2
x
x
2
=
+
+C = x 3 / 2 + 2x 1/ 2 + C
3 / 2 1/ 2
3

En muchas aplicaciones de la integración se nos da la suficiente
información como para determinar una solución particular. Para ello sólo
necesitamos conocer el valor de F(x) para un cierto valor de x.
9) Hallar la solución general de la ecuación

F'(x) =

1
y calcular la
x2

solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 2....