Cjtos

Introducción a Teoría de Conjuntos


La teoría de conjuntos es básica para entender claramente el álgebra relacional; por lo tanto, conocer algunos de sus principios y definiciones permite comprenderla mejor y relacionar sus conceptos con situaciones del mundo real.

Se define como conjunto a toda colección de objetos claramente definida, por ejemplo el conjunto de libros de la oficina, elconjunto de personas mayores de 30 años, el conjunto de estudiantes de la Universidad X, etc. Obsérvese que para definir un conjuto siempre se emplea una o más reglas de definición, es decir, el conjunto de X objetos que cumplen la regla Y; en este caso se dice que el conjunto está definido por comprensión. La otra forma de definir un objeto es por extensión, o sea cuando se mencionan todos suselementos componentes.

Ejemplo: Si hablamos del conjunto de letras vocales, estaríamos definiendo el conjunto por comprensión (implícitamente estamos refiriéndonos al conjunto de letras tales que la letra sea una vocal). Pero si expresamos el conjunto como:

A = {a, e, i, o, u) estamos definiendo el mismo conjunto, sólo que, en lugar de hacerlo conceptualmente, expresamos cada uno de sus miembroscomponentes.

Cuando se define un conjunto por extensión, el nombre del conjunto se asocia con las letras mayúsculas (otro ejemplo de conjunto), y sus componentes se separan entre sí utilizando la coma y se delimitan encerrándolos entre llaves. Utilizamos el signo de igualdad para indicar que el nombre del conjunto equivale a sus componentes.

Conjunto Universal: Es el conjunto compuesto por todos loselementos posibles, dentro de un ámbito de trabajo. Se representa por la letra U.


La regla o ley de elegibilidad para formar conjuntos por extensión debe cumplir las siguientes dos condiciones:

1. Es posible determinar mediante examen directo si dado un elemento del conjunto universal, dicho elemento pertenece o no a un conjunto dado.
2. Cada elemento del conjunto universal pertenece o nopertenece al conjunto dado.


Conjunto Vacío: Se denomina así al conjunto que por definición no tiene elementos, es decir, dicho conjunto está definido por una regla de elegibilidad la cual no es satisfecha por ningún elemento. También se le llama conjunto nulo y se representa por el símbolo f.

Por ejemplo, el conjunto de los hombre que nunca mueren, el conjunto de triángulos en un plano cuyos ángulossuman más de 180 grados, o el conjunto de elefantes voladores.


Conjunto Complementario: Se denomina conjunto complementario de un conjunto dado al conjunto de todos los elementos que no pertenecen a dicho conjunto. Por ejemplo, dado el conjunto A = {a, e, i, o, u}, es decir, el conjunto de las vocales, su conjunto complementario (o simplemente complemento), denominado A’, es el conjunto de todaslas letras que no son vocales, o sea, A’ = {b, c, d, f, g, h, j, k, .... }.


Subconjunto: Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B si cada elemento de A pertenece a B. Además, si A es subconjunto de B y existe al menos un elemento de B que no pertenece al conjunto A, se dice que A es subconjunto propio de B. Lo anterior se denota con:

A Í B o en forma escrita, A essubconjunto de B

A Ì B, o sea, A es subconjunto propio de B

En forma matemática se expresa así:

A Ì B Û "(x) [x Î A Þ x Î B] Ù $(x) [x Î B Ù x Ï A]


Operaciones con Conjuntos

Unión: La unión de dos conjuntos dados A y B es un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, o al conjunto B, o a ambos conjuntos A y B.

Gráficamente se puede ver usando diagramas de Venncomo:









Ejemplo:

Sea el conjunto A = {a, b, c, d, x} y sea el conjunto B = {x, y, z}, entonces el conjunto C = A È B sera: C = {a, b, c, d, x, y, z}

Obsérvese cómo el elemento x no aparece repetido en el conjunto resultado, a pesar de que está tanto en el conjunto A como en el conjunto B.

Simbólicamente, A È B = {x / x Î A Ú x Î B}

De las definiciones dadas hasta el momento se obtienen los...