Claculo III2014 1

MATEMÁTICAS III
Bernardo Acevedo Frias.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
MANIZALES. JUNIO 2014

ii

Contenido
Prologo

vii

1 Super…cies
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 De…nición de Super…cie . . . . . . . . . . .
1.3 Curvas de Nivel . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Super…cie Cuádrica
. . . . . . . . . .
1.4.1De…nición . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Plano . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Cilindro circular o elíptico . . . .
1.4.4 Cilindros Parabólicos: . . . . . .
1.4.5 Cilindros Hiperbólicos: . . . . .
1.4.6 Paraboloide elíptico o circular
1.4.7 Paraboloide hiperbólico . . . . . . .
1.4.8 Hiperboloide de una hoja . . . . . .
1.4.9 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.10 Hiperboloide dedos hojas . . . . .
1.4.11 Cono . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Funciones
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Propiedadesde los límites . . . . . .
2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Algunas propiedades de las derivadas
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iv

CONTENIDO

2.5
2.6
2.7
2.8

2.4.3 Vector Gradiente . . . . . . . . . . .
Interpretación Geométrica de la Derivada . .
Derivadas de orden superior . . . . . . . . .
Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Algunas propiedades: . . . . . . . ..
Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Algunas propiedades de la diferencial

3 Regla de la cadena
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Función Implícita . . . . . . . . . . . .
3.3 Planos Tangentes y Rectas Normales .
3.4 Máximos y Mínimos . . . . . . . . . .
3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . .
3.4.2 De…nicion de máximo absoluto
3.4.3 De…nición de máximorelativo .
3.4.4 De…nición de mínimo absoluto .
3.4.5 De…nición de Extremos . . . .
3.4.6 De…nición de punto crítco . .
3.4.7 De…nición de Matriz Hessiana
3.4.8 Criterio de la matriz Hessiana
3.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . .

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4 Integrales Dobles
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4.1 Intoducción . . . . . . . . . . ....