Clase 02 09 2015

CALCULO
 III
 
Sep$embre
 2
 /2015
 

Definición
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par
ordenado (x,y) de D le corresponde un único número real f (x, y), entonces
se dice que f es una función de x y y. En conjunto D es el dominio de f ,
y el correspondiente conjunto de valores f (x, y) es el rango de f .

z = f (x, y) = x 2 + xy
!"#

Función de 2variables

w = f (x, y, z) = x + 2y − 3z
!
$"$
#

Función de 3 variables

2 variables

3 variables

Dominio = conjunto de todos los puntos para los que la función esta definida

Funciones
 de
 varias
 variables
 
2
 

Ejem : dominio de funciones de varias variables
Hallar el dominio de cada función
a) f (x, y) =

x 2 + y2 − 9
x

b) g(x, y, z) =

x
9 − x 2 − y2 − z 2

a) f está definida para (x,y), x ≠ 0 y x 2 + y 2 ≥ 9
dominio ⇒ todos los puntos de x 2 + y 2 = 9
b) g está definida para (x, y, z) tal que x 2 + y 2 + z 2 < 9
dominio = todos los puntos (x, y, z) en el interior de la esfera

3
 

( f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y)
(fg)(x,y) = f (x, y)g(x, y)
f
f (x, y)

 
(x, y) =
g(x, y) ≠ 0
g
g(x, y)
(g ! h)(x, y) = g(h(x, y))


 

suma o diferencia
producto
cociente
funcióncompuesta

El dominio de una función compuesta consta de todo (x,y) en el dominio de h,
donde h(x,y) esta en el dominio de g.
g(x, y) = 16 − 4x 2 − y 2
h(x, y) = 16 − 4x 2 − y 2 ,

g= u

4
 


 

La gráfica de z = (x, y) es una superficie y su proyección
sobre el plano xy es D, siendo este el domini de f .


 

Grafica
 de
 una
 función
 de
 dos
 
variables
 

5
 

Cuál es elrango de f (x, y) = 16 − 4x 2 − y 2 Describir la gráfica de f
Dominio dado por f : 16 − 4x 2 − y 2 ≥ 0
x 2 y2
+ =1
elipse en el plano xy
4 16
El rango de f todos los valores de z = f (x, y) tal que 0 ≤ z ≤ 4

Descripción
 de
 una
 gráfica
 de
 dos
 
variables
 

6
 

La manera de visualizar una función de dos variables es usando un campo escalar,
en el que el escalar z = f (x, y) sele asigna al punto (x, y). Un campo escalar puede


 

caracterizarse por sus curvas de nivel (o lineas de contorno) a lo largo de las cuales
el valor de f (x, y) es constante.


 

Campo
 escalar
 
7
 

Mapa
 Topográfico
 
8
 

Ejem : Dibujo de un mapa de contorno dado por z = y 2 − x 2 de la figura. Dibujar un mapa
de contorno de esta superficie usando curvas de nivel paradiferentes valores de c
Solución: f (x, y) = c es una hiperbola en el plano xy(c ≠ 0) con asintotas en y = ±x.
si c < 0, el eje transversal es horizontal.
x 2 y2
c = −4 la curva de nivel es 2 − 2 = 1, Hipérbola con eje transversal horizontal.
2 2
y2 x 2
Si c > 4 el eje transversal es vertical, 2 − 2 = 1
2 2
con c = 0 se presentan las asintotas que se cortan.

Mapa
 de
 contorno
 
9
 

Lasuperficie de nivel es la extensión de las curvas de nivel. Si f es una función de
tres variables y c es constante, la grafica de f (x, y, z) = c es una superficie de nivel.

Superficies
 de
 nivel
 
10
 

Ejem. Describir las superficies de nivel de f (x, y, z) = 4x 2 + y 2 + z 2
4x 2 + y 2 + z 2 = c, las superficies de nivel son elipsoides
(las secciones paralelas al plano yz son circulos)
4x2 + y 2 + z 2 = 0
x 2 y2 z 2
+ + =1
1 4 4
x 2 y2 z 2
+ + =1
4 16 16

c = 0 (un solo punto)
c = 4 (elipsoide)
c = 16 (elipsoide)

11
 

El estudio del límite de una función de dos variables se inicia definiendo
El entorno δ de (x0 , y0 ) es la distancia entre dos puntos (x, y) y (x0 , y0 ) en el plano,
como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0 , y0 )

{(x, y) :

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ}

Disco abierto

Limites
 
 
12
 


 


 

DEFINICIÓN
limite de una función de dos variables
Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0 , y0 ),
excepto posiblemente en (x0 , y0 ), y sea L un número real. Entonces
lím f (x, y) = L
( x,y)→( x0 ,y0 )

si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que
f (x, y) − L < ε siempre que 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2...