Clase 04 Teorema De Castigliano

Análisis Estructural
Teorema de Castigliano
Carlos Alberto Riveros Jerez

Departamento de Ingeniería
Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Teoremade Castigliano
“La componente de desplazamiento del
punto de aplicación de una acción sobre
una estructura en la dirección de dicha
acción, se puede obtener evaluando la
primera derivada parcial de laenergía
interna de deformación de la estructura
con respecto a la acción aplicada”.
2
2
2
∂w ∂  N 2

M
V
T
∆P =
=
dx + ∫
dx + ∫
dx + ∫
dx 
∫
∂P ∂P  2 AE
2 EI
2G ( A / α )
2GJ 

Obras Civiles –Ingeniería Sanitaria UdeA

Teorema de Castigliano
Tomando como referencia: we = 1/ 2 fi .Di

Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Teorema de Castigliano

Ejemplo 1
Calcular la rotación en elpunto medio (c) de la viga en voladizo.

∂w
M ∂M
θC =
=∫
dx
∂m
EI ∂m
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Teorema de Castigliano

Solución 1: corte 1-1
⌢
+∑ M

1
1

= 0;

M1 = −Px
∂M
=0
∂mObras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Px + M1 = 0

Teorema de Castigliano

Solución 1: corte 2-2
⌢
+∑ M

2
2

= 0;

Px + m + M2 = 0

M 2 = − [ m + Px ]

∂M
= −1
∂m

Obras Civiles – IngenieríaSanitaria UdeA

Teorema de Castigliano

Solución 1
1
θC =
EI

L
L 2

 ∫ ( −Px )( 0 ) dx + ∫ ( −Px )( −1) dx 
 0

L2

1 P  2 L2 
θC = ×  L − 
EI 2 
4

3PL2
θC =
8EI

Obras Civiles –Ingeniería Sanitaria UdeA

Ejemplo 2
Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w,
determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.

∂w
M ∂M
∆c ↓=
=∫
dx
∂P
EI ∂P
Obras Civiles –Ingeniería Sanitaria UdeA

Solución 2
⌢
+ ∑ 11 = 0;

wx 2
 wL P 
−
+ × x +
+ M1
2
2
 2

wx 2
 wL P 
M1 = 
+ × x −
2
2
2


∂M 1
= x
∂P 2
2
∆C ↓=
EI

L2

∫
0

w 2
 wL
x
−
x  ( 0.5 x )dx
 2
2 


( )


L
 wL 2
∆C ↓= 2 
3
 4


3

w ( 2)
−
L

4

5wL3
∆C ↓=
384EI
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4

4







Ejemplo 3
Calcular el desplazamiento en el extremo...