CLASE 07 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

2

´ A PRIORI
DEFINICION

Clase 7
Definiciones de Probabilidad
Jos´e Tapia Caro
¿Qu´e se entiende por la probabilidad de que un evento ocurra?
¿Cu´
ales son las reglas que facilitan el c´alculo de probabilidades?

1.

Definici´
on cl´
asica o frecuentista

Definici´
on 1.1. Sea un experimento aleatorio con espacio muestral S y sea A ✓ S un
evento asociado a el. Suponga que en n repeticiones delexperimento el evento A ocurre nA
veces. La probabilidad de que A ocurra se define como el l´ımite de la frecuencia relativa
nA /n cuando n tiende a infinito. Esto es,
nA
n!1 n

P (A) = l´ım

(1)

El problema pr´
actico con esta definici´on es que se requiere realizar el experimento infinitas veces lo cu´
al es imposible. Sin embargo, para n grande al menos se podr´ıa estimar con
cierta precisi´
onel valor de P (A). Por ejemplo, con n = 100 se podr´ıa estimar la probabilidad
de que resulte ”cara” al lanzar una moneda que se sospecha es injusta.
Una definici´
on que no requiere realizar el experimento pero supone un espacio muestral
finito con resultados igualmente probables es la definici´on a priori.

2.

Definici´
on a priori

Definici´
on 2.1. Sean S un espacio muestral finito conresultados igualmente probables y
A ✓ S un evento asociado a el. La probabilidad de que A ocurra se define como el n´
umero
P (A) =

n(A)
n(S)

(2)

donde n(.) representa el n´
umero de elementos que posee el conjunto.
Ejemplo 1. Suponga que se lanza un dado justo de seis caras y que se definen los siguientes
eventos.
A = {1, 3, 5} es el evento ”resulta un n´
umero impar” o ”resulta el 1, el 3 o el 5”B = {2, 4, 6} es el evento ”resulta un n´
umero par” o ”resulta el 2, el 4 o el 6”
C = {1} es el evento ”resulta el 1”
D = {1, 2, 3} es el evento ”resulta un n´
umero menor o igual a tres”
E = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} es el evento ”resulta un n´
umero entre 1 y 6”
F = ; es el evento ”no hay resultado”
Calcule la probabilidad de que ocurran los eventos A, B, C, D, E y F .
Soluci´
on

1

2

P (A) =
P(C) =
P (S) =

n(A)
3
= = 0, 50
n(S)
6
n(C)
1
= ⇡ 0, 167
n(S)
6
n(S)
6
= =1
n(S)
6

´ A PRIORI
DEFINICION

P (B) =
P (D) =
P (F ) =

n(B)
3
= = 0, 50
n(S)
6
n(D)
3
= = 0, 50
n(S)
6
n(F )
0
= = 0, 00
n(S)
6

⇤

Observaciones 2.1. (de la definici´on a priori)
1. La definici´
on 2.1 supone que cada resultado en S tiene la misma ”probabilidad” o
”posibilidad” o ”chance” de ocurrir. El problema conesto es que ya se debe saber
qu´e es una ”probabilidad”.
2. La definici´
on cl´
asica de probabilidad puede ser presentada como
P (A) =

n´
umero de resultados que favorecen la ocurrencia de A
n´
umero de resultados posibles

(3)

3. Si S es infinito, se debe usar una medida de conjunto distinta a la medida de conteo
n(.) usada en la ecuaci´
on (2). Esas otras medidas pueden ser la longitud, el´area, el
volumen, etc. En general, si µ es una medida adecuada de conjuntos la probabilidad
de que A ocurra se define como
P (A) =

µ(A)
,A ✓ S
µ(S)

(4)

La definiciones dadas en las ecuaciones (2) y (4) indican que la probabilidad de que
ocurra el evento A se obtiene comparando su tama˜
no con el tama˜
no del espacio muestral de referencia S
Ejemplo 2. (Tiro al blanco) La competencia de ”tiro alblanco” con arco emplea discos
de 80cm de di´
ametro para distancias entre 30m y 50m. El disco tiene pintados 10 discos
conc´entricos de 4cm, 8cm,...,40cm. Un competidor gana 10 puntos si impacta en el disco
amarillo m´
as peque˜
no, gana 9 puntos si impacta en el segundo anillo amrillo, gana 8 puntos
si impacta en el primer anillo rojo, etc. Finalmente el competidor gana 1 punto si impacta
en elanillo m´
as alejado del centro (ver Figura 1). Suponga que todos los tiros impactan
en alg´
un punto del disco y que todos los puntos en el tienen la misma probabilidad de
ser impactados. Si un jugador gana cuando obtiene 10 puntos (cuando impacta en el disco
amarillo m´
as peque˜
no de radio 4cm), ¿cu´al es la probabilidad de ganar con el primer tiro?
Soluci´
on
Sea A el evento que consiste en...