clase 1 - algebra matricial

Vectores Matrices Matrices Cuadradas Valores y Vectores Propios

Vectores y Algebra Matricial
MAT4201 An´lisis Multivariado
a
Alba Mart´
ınez-Ruiz
Departamento de Ingenier´ Industrial
ıa
Universidad Cat´lica de la Ssma. Concepci´n, Chile
o
o

Oto˜o 2012, Chile
n

Alba Mart´
ınez-Ruiz

Vectores y Algebra Matricial

Vectores Matrices Matrices Cuadradas Valores y VectoresPropios

Contenido[1, 2]

1

Vectores

2

Matrices

3

Matrices Cuadradas

4

Valores y Vectores Propios

Alba Mart´
ınez-Ruiz

Vectores y Algebra Matricial

Vectores Matrices Matrices Cuadradas Valores y Vectores Propios

Vectores


Vector transpuesto: x = (x1 , ..., xn )
Productor escalar: x y = y x = n xi yi
i=1
√
Norma: x = x x = x2 + ... + x2
n
1
(longituddel vector x)
Producto escalar: x y = x y cos θ.
Producto escalar: producto de la norma de
un vector ( x ) por la proyecci´n del otro
o
sobre ´l ( y cos θ).
e
Dos vectores son ortogonales, o ⊥ entre si, si
y solo si, su producto escalar es cero.

Alba Mart´
ınez-Ruiz

Vectores y Algebra Matricial


x1
 x2 

x= . 
.
.
xn

Vectores Matrices Matrices Cuadradas Valoresy Vectores Propios

Matrices


Matriz An×p : un conjunto
de n × p n´meros reales,
u
ordenados con n filas y p
columnas.

a11
 a21

A= .
.
.

a12
a22
.
.
.

an1 an2

Un conjunto de p vectores
columna en Rn .
Un conjunto de n vectores
fila en Rp .

Alba Mart´
ınez-Ruiz

Vectores y Algebra Matricial


. . . a1p
. . . a2p 

.
..
.
.
.
. . . anpVectores Matrices Matrices Cuadradas Valores y Vectores Propios

Matrices
Matriz traspuesta de A es A de dimensi´n p × n
o
(A ) = A
A+B =B+A
(A + B ) = A + B
El producto matricial AB s´lo es posible cuando el n´mero
o
u
de columnas de A es igual al n´mero de filas de B .
u
El producto matricial no es, en general, conmutativo ya que si
AB existe, el producto BA puede no existir. Cuandoexiste, el
producto AB es, en general, distinto de BA.
A(B + C ) = AB + AC
(AB ) = B A

Alba Mart´
ınez-Ruiz

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Matrices

Matriz identidad: matriz de
dimensiones n × n que tiene unos en
la diagonal y ceros fuera de ella.
Rango: n´mero m´ximo de vectores
u
a
fila o columna linealmenteindependientes que contiene la matriz.
En una matriz de dimensiones n × p,
suponiendo n > p, el m´ximo n´mero
a
u
de vectores linealmente independientes
es p. El rango m´ximo de la matriz es
a
p. En este caso decimos que la matriz
es de rango completo.

Alba Mart´
ınez-Ruiz



1 0 ... 0
0 1 . . . 0


I = . . .
. . .. .
.
. .
.
0 0 ... 1


a11
 a21

.A= .
.
.
.
.
an1

Vectores y Algebra Matricial


. . . a1p
. . . a2p 

.
.
... . 
.
... . 
.
. . . anp

Vectores Matrices Matrices Cuadradas Valores y Vectores Propios

Rango de una matriz

Si rg (A) es el rango de una matriz A, se verifica:
-

rg (An×p ) ≤ min(n, p)
Si rg (An×p ) = min(n, p), se dice que A es de rango completo.
rg (A + B ) ≤ rg (A) + rg (B)
rg (AB ) ≤ min(rg (A), rg (B ))
rg (A A) = rg (AA ) = rg (A)

Rango de una matriz
Nos indica la dimensi´n real necesaria para representar el conjunto
o
de datos, o el n´mero real de variables distintas de que disponemos.
u

Alba Mart´
ınez-Ruiz

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Matrices cuadradas
Matriz cuadradaUna matriz es cuadrada si n = p, y este n´mero se denomina
u
orden de la matriz.
Una matriz es sim´trica si A = A.
e
Cada fila es igual a la correspondiente columna, es decir
aij = aji .
Los productos AA y A A conducen a matrices sim´tricas.
e
Si A y B son dos matrices cuadradas de la misma dimesi´n,
o
entonces los productos AB y BA estan definidos, pero no son
necesariamente iguales....