Clase 1 MATE 1203 2015 20 Sec 19 Y 23

MATE-1203
CLASE 1
Prof. María Rosa Brito de Quiroz
Semestre 2015-20
Secciones 19 y 23

NÚMEROS REALES
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE ORDEN:
Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales
1) Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎 + 𝑐 <𝑏 + c
2) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
3) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 > 0 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏c

4) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 0 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏c
5) Si 0 < 𝑎 < 𝑏, entonces

1
𝑎

>

1
𝑏

INTERVALOS
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
[𝑎, 𝑏]= 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

[𝑎, 𝑏) = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

INTERVALOS
𝑎, ∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}
𝑎, ∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}
−∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏}

−∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏}

FACTORIZACIÓN
1) Productos Notables
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 +𝑏) Diferencia de Cuadrados
𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) Suma de Cubos
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) Diferencia de Cubos
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 Cuadrado de la Suma de 2 Números

𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 Cuadrado de la Resta de 2 Números
𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)3 Cubo de la Suma de 2 Números
𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)3 Cubo de la Resta de 2 Números

FACTORIZACIÓN
2) Si𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0, las soluciones de la ecuación
cuadráticas 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 son

𝑥1 =

−𝑏+ 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎

y 𝑥2 =

−𝑏− 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎

Note que 𝑥1 = 𝑥2 si y solo si 𝑏2 −4𝑎𝑐 = 0.
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación notiene solución.

¿Cómo se factoriza 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ?
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )2
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es irreducible en 𝑅.EJERCICIOS
1) 10𝑥 + 1 ≥ 5 − 8𝑥
2) 4𝑥 2 + 6 > 5𝑥
3)

3
4𝑥

4)

3
𝑥+5

≤2

≤

2
𝑥−2

5) 𝑥 3 ≥ 5𝑥 2 + 6𝑥

VALOR ABSOLUTO

|𝑎| = 𝑎 si 𝑎 ≥ 0
|𝑎| = −𝑎 si 𝑎 < 0

𝑎2 = |𝑎|

VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES:
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
𝑎
𝑏

=

𝑎
𝑏

𝑎𝑛 = 𝑎

si 𝑏 ≠ 0
𝑛

𝑎+𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏

VALOR ABSOLUTO
Si 𝑎 > 0
𝑥 = 𝑎 si y sólo si 𝑥 = 𝑎 o 𝑥 = −𝑎
𝑥 < 𝑎 si y sólo si −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
𝑥 > 𝑎 si y sólo si 𝑥 > 𝑎 o 𝑥 < −𝑎

EJERCICIOS
1)

2𝑥 − 1 = 4

2)𝑥 − 2 = 3𝑥 − 9

3)

𝑥−2 <3

4)

𝑥+3 ≥2

5)

2+

5
𝑥

<1

6) 2 2𝑥 + 3 < 𝑥 + 10

7)

𝑥−1 +2 2−𝑥 <4

TRIGONOMETRÍA
USAREMOS RADIANES
𝛼𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝛼𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

180
𝜋

𝛼𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 𝛼𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

𝜋
180...