Clase 10 N Meros Imaginarios Y Complejos 2015

PPTCES023MT21-A15V1

MT-22

Clase

Números imaginarios y
complejos

Síntesis de la clase anterior
Irracionales Q*
Números que no se pueden
escribir como fracción, poseen
infinitos decimales sin un patrón
definido, no tienen período.
Ejemplos: π , 3 5 , 2 ,...

Orden

De raíces

De logaritmos

Caso
1: igual índice
.
Si 0 < a < b, entonces:

n

n

a b

Caso
1: igual base
.
Si 0 < a < b,entonces:

Operatoria

irracional ± racional = irracional.
irracional ∙ racional = irracional.
irracional : racional =
irracional.
(si el racional es distinto de cero)

(n: natural y n ≠ 1)

logna  lognb

.
Caso
2: igual cantidad subradical.
Si a >0 y m < n, entonces: n a  m a

Caso
2: igual argumento
.
Si a >0 y m < n, entonces:

(n >1)

logna  logma

Aproximación

(n > 1 y m >1)

(n y n: naturales,distintos de 1)

Caso
3: distinto índice y distinta
.
cantidad subradical.n a  m b
Recomendación: elevar ambas raíces a una
misma potencia (mcm)

Caso
3: distinta base y distinto
.
argumento: log a  log b
.

n

m

Recomendación: cambio de base.

Si se conoce el valor aproximado de
un número irracional, se podría
aproximar cualquier otro que se pueda
expresar en términos del primero.

Aprendizajesesperados
•

Comprender que los números complejos permiten resolver problemas
sin solución en los números reales.

•

Identificar la unidad imaginaria a partir de la raíz cuadrada de – 1.

•

Reconocer la relación entre los números complejos, los números
imaginarios y los reales.

•

Reconocer geométricamente el plano complejo y la ubicación de
números complejos.

•

Aplicar procedimientos decálculo de adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formulando
conjeturas y demostrando algunas propiedades.

1. Números imaginarios
2. Números complejos
3. Operatoria

1. Números Imaginarios
¿Cuál será la solución de la ecuación x2 + 6 = – 10?
x 2  6  10
x 2  16
x   16

¿Existe un número real, que multiplicado por sí mismo
de como resultado -16?
Si noexiste tal número, entonces… ¿  16 es imaginario?
Analicemos:

- 16  16 - 1 4  1

Si i   1 , entonces

 16 4i

¿Qué tipo de números serán  25, - 49 , 4 - 81...?
¿Tienen algo en común?

1. Números Imaginarios
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número  1 y se designa por la letra i.
Potencias de i:
i  1

i5 i

i9 i

i2  1

i6  1

i10  1

i3  i

i7  i

i11  i

i41

i8 1

i12 1...

¿Observas alguna regularidad?
Cada cierto intervalo de números, se repite el resultado para la
potencia de i.

1. Números Imaginarios
Unidad imaginaria
Todas las potencias de i cuyos exponentes son:
•

múltiplos de 4, son iguales a 1

Ejemplo:

•

múltiplos de 4 más 1, darán i

Ejemplo:

i9 i  i4(2)1 i

Ejemplo:

i14  1  i4(3)2 -1

• múltiplos de 4 más 2, darán -1
•42 11 42
i12 1  ii4(3)
i  i1 1i i

múltiplos de 4 más 3, darán –i. Ejemplo: i19  i  i4(4)3 -i

1. Números Imaginarios
Número imaginario
Un número imaginario puede describirse como el producto de un
número real b (distinto de cero) por la unidad imaginaria i.
- 4  4 -1 2 - 1 2i

Ejemplos:

3i

-i

-0,6i

2
i
3

- 4...

Los números imaginarios se pueden operar como términosalgebraicos.
Ejemplos: 3i + 12i = 15i
2
1
6i  i
5i
i - i 

3 9
9
9
- 121  2i  121-1  2i 11 - 1  2i 11i  2i 9i

- 4i 3i - 12i2 - 12(-1) 12

2. Números Complejos: C
Definición
Un número complejo es todo número de la forma a + bi, siendo a y
b números reales, e i la unidad imaginaria (i           ).
 -1
a es la parte real de z

Re(z) = a

z = a + bi
b es la parte imaginaria de z

Im(z) =b

Ejemplo: Si z es un número complejo tal que z = 5 + 3i, entonces
5 es la parte real de z

Re(z) = 5

z = 5 + 3i
3 es la parte imaginaria de z

Im(z) = 3

2. Números Complejos: C
Representación
Un número complejo se puede representar al menos de tres maneras:
•

Canónica o binómica: a + bi

•

Par ordenado : (a, b)

•

Gráficamente: Como vector

Ejemplo:
Si z es un número complejo, tal...