Clase 18 Plano y espacio 2015

ACOMPAÑAMIENTO ANUAL
BLOQUE 21

PPTCAC042MT21-A15V1

Plano y espacio

PropiedadCpech
Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual

Aprendizajes esperados
• Ubicar y reconocer características de puntos y segmentos en el plano
cartesiano.
• Aplicar conceptos geométricos en el plano cartesiano.
• Calcular distancia y punto medio entre dos puntos.
• Ubicar vectores en el plano cartesiano.
• Operación devectores.
• Ubicar y reconocer características de puntos y segmentos en el espacio
tridimensional.
• Ubicar puntos en el espacio.
• Analizar características del cubo.

Propiedad Intelectual Cpech

Contenidos
Plano cartesiano

Vectores

Plano y
espacio

Características
del cubo

Sistema
tridimensional

Propiedad Intelectual Cpech

1. Ubicando puntos en el plano
Sistema de referencia
¿Dónde estáubicado el punto (2, 4)?

¿y el punto (– 6, – 4)?

7
6
5
4

(2, 4)

3
2
1
– 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1
–2
–3
–4
(– 6, – 4)
–5
–6

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Propiedad Intelectual Cpech

1. Ubicando puntos en el plano
Elementos del plano
Eje de las ordenadas (y)

Cuadrante II

Eje de las abscisas (x)

7
6
5
4

(2, 4)

Punto de abscisa 2
y ordenada 4.

3
2
1

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3-2 -1
-2
-3
-4
(– 6, – 4)
-5
-6

Cuadrante III

Cuadrante I

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Origen: (0, 0)

Cuadrante IV

Propiedad Intelectual Cpech

1. Ubicando puntos en el plano
Elementos del plano
En forma general, para los cálculos en el plano y en el espacio
se tendrá lo siguiente:
Eje de ordenadas (y)

P2(x2, y2)

y2

y1

P1(x1, y1)

x1

Un punto cualquiera se
representa como (x1, y1)

Ejede abscisas (x)

x2

Otro punto cualquiera tendrá
coordenadas (x2, y2)

Propiedad Intelectual Cpech

1. Ubicando puntos en el plano
Ejemplo:
¿Cómo ubicarías un triángulo de vértices A(–3, –2), B(1, 6) y
C(5, –2) en el plano?
¿Podrías calcular el área
del triángulo?

¿Cuáles serán los vértices del
triángulo NSJ?

y
7
6
5
4
3
2
1

N

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

A

-2
-3
-4
-5

B
J

1

2

3

45

6

7

8

9 10

x

C
S

Propiedad Intelectual Cpech

2. Distancias y longitudes
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano,se puede
establecer por medio del teorema de Pitágoras.
Eje de ordenadas (y)

P2(x2, y2)

y2
d
y1

(y2 – y1)

P1(x1, y1)

Eje de abscisas (x)

x1

x2
(x2 – x1)

¿Qué podríamos deducir de acuerdo al teorema de Pitágoras?

d2 = (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2
Propiedad Intelectual Cpech

2. Distancias y longitudes
Distancia entre dos puntos
Por lo tanto, la distancia entre dos puntos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
del plano, se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
d  (x 2 – x 1 )2  (y 2 – y 1 )2

Si dos puntos difieren solo en una de sus coordenadas, la distancia
entre ellos es el valor absoluto de su diferencia.
Ejemplo: Ladistancia entre (4, 6) y (– 5, 6) es:
| – 5 – 4| = | – 9| = 9

Propiedad Intelectual Cpech

2. Distancias y longitudes
Ejemplo:
x1 y1
x2 y2
¿Cuál es la distancia entre los puntos (– 3, 4) y (9, – 1)?
d2 = (9 – (– 3))2 + (– 1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (– 5)2

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13

Propiedad Intelectual Cpech

2. Distancias y longitudes
¿Cuál es su representacióngráfica?
y

(– 3, 4)

7
6
5
4
3
2
1

d
x

-3 -2 -1
-2
-3
-4
-5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(9, – 1)

¿Podrías determinar la distancia d solo utilizando
el teorema de Pitágoras?

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3. Punto medio
Punto medio entre dos puntos
El punto medio M entre dos puntos del plano, P1(x1, y1) y P2(x2, y2),
se obtiene a través de la siguiente fórmula:

M=

x1 + x2
y + y2
, 1
2
2

PropiedadIntelectual Cpech

3. Punto medio
Punto medio entre dos puntos
Ejemplo:

x1 y1

x2

y2

¿Cuál es el punto medio entre los puntos (– 3, 4) y (9, – 1)?

M=

– 3 + 9 4 + (– 1)
,
2
2

M=

x1 + x2
y + y2
, 1
2
2

 3
M  3, 
 2

Propiedad Intelectual Cpech

3. Punto medio
Punto medio entre dos puntos
¿Cuál es su representación gráfica?
y

(– 3, 4)

7
6
5
4
3
2
1

-3 -2 -1
-2
-3
-4
-5

 3
M  3,...