Clase_3_dinamica De Sis

Clase # 3 (7 / Septiembre / 2015) Dinámica de sistemas
1.4 Analogía entre los componentes de diferentes sistemas.
En una gran cantidad de casos, es necesario realizar simulaciones de las
ecuaciones derivadas del proceso de modelado. Sin embargo, la disciplina
ingenieríl de la persona que efectúa la simulación determinará la clase de
simulador a utilizar. Por lo general los simuladores de procesosestán
enfocados hacia usuarios de una especialidad en particular por lo que es
necesario convertir las ecuaciones diferenciales a sistemas ya sean mecánicos
o eléctricos cuyo comportamiento sea análogo al original.
Dentro de las analogías de sistemas más comunes están aquellas que
relacionan sistemas mecánicos y eléctricos, por lo que enfocaremos nuestra
atención a este caso en particular.Analogía fuerza-voltaje.
Considerando los sistemas mostrados en la figura 1.9 podemos determinar el
siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

Fig. 1.9

Para el circuito eléctrico:

y para el sistema mecánico:

Si expresamos
obtenemos:

la

ecuación

anterior

en

términos

de

la

carga

Si comparamos las dos ecuaciones observamos que son sistemas análogos,
esto es, tienen una ecuación diferencialidéntica, y podemos establecer las
relaciones resumidas en la tabla 5:

Tabla 5 Analogías Fuerza-Voltaje

Analogía fuerza-corriente.
De manera similar podemos considerar los sistemas mostrados en la figura
1.10 para establecer la relación existente entre las ecuaciones de fuerza de un
sistema mecánico y un sistema eléctrico.
Las ecuaciones que describen el sistema para el circuito eléctricoson:

Fig. 1.10
que expresada en términos del flujo magnético

nos da:
3.38

Dado que el sistema mecánico ha sido considerado el mismo que para la
analogía fuerza voltaje podemos comparar las ecuaciones para obtener las
relaciones dadas en la tabla 6 que son denominadas analogías fuerzacorriente.

Tabla 6 Analogías Fuerza-Voltaje

2. Métodos y obtención de Modelos matemáticos
Funciones detransferencia.
Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario
conocer la dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el
comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se
requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los
conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniería involucradas. Es
por ello que laingeniería de control se considera un campo interdisciplinario.
Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede
ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de nésimo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la
variable de entrada con la variable de salida de la forma:

Donde: ai's y bi's son constantes, u(t) es laentrada y y(t) es la salida.
Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuación integrodiferencial en una ecuación algebraica considerando que las condiciones
iniciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresión:

Relacionando la salida Y(s) con la entrada U(s) tenemos:

Esta última expresión es denominada la Función de transferencia del sistema.
El hecho de trabajar con funcionesde transferencia, simplifica en gran medida
el manejo matemático de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales
se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el
dominio de la frecuencia compleja “s” son multiplicaciones simples. Con ello la
salida del bloque de la figura 2.1 es Y(s) = H(s)*X(s)

Fig. 2.1 Forma gráfica de una función transferencia

Una metodologíaa seguir para la determinación de la función de transferencia
de un sistema es la siguiente:
1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en
el sistema.
2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones
integro-diferenciales correspondientes a cada variable de interés.
3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando
condiciones...