CLASE 4 ERRORES MODELO MATEMÁTICO

ERRORES

MODELO MATEMÁTICO

MODELO MATEMÁTICO.- Si realizamos un gran numero de observaciones y

 

suponemos que solamente existen errores accidentales y representamos en el eje de
abscisas los residuos respecto a la media y en el eje de ordenadas el numero de
veces que se obtiene cada residuo obtenemos una curva denominada curva de
Gauss o campana de Gauss, que es simétrica respecto al eje deordenadas y
asintótica respecto al eje de abscisas, y cuya expresión matemática es:

Siendo e la base de los logaritmos neperianos y p una constante, que se
denomina “grado de precisión”.
El valor de P = que se denomina

ERRORES MODELO MATEMÁTICO

Eje x = Residuos respecto a la media
Eje y = N° de veces que se obtiene cada residuo
De la observación de la curva Gauss, se pueden obtener dosconclusiones
importantes:
• A todo error positivo le corresponde otro negativo de igual valor absoluto.
• Los errores más pequeños son los más numerosos y por lo tanto los más
probables de cometer.
El punto de inflexión de la curva de Gauss corresponde al error medio cuadrático.

ERRORES

MODELO MATEMÁTICO

APLICACIÓN DE LA CURVA DE GAUSS PARA LA DETERMINACIÓN DE LA
PROBABILIDAD.

 

- Se denominaprobabilidad de un suceso al cociente entre el número de casos favorables y
el número de casos posibles.
- La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. El suceso seguro o
certeza es aquél cuya probabilidad es igual a 1.
--- La probabilidad
de cometer un error comprendido entre –x y +x es igual al área limitada por la curva de
Gauss, las ordenadas levantadas en –x y +x y el eje deabscisas (número de casos
favorables) dividida por el área total limitada por la curva de Gauss y el eje de abscisas
(número de casos posibles). De este modo la probabilidad de cometer un error
comprendido entre -∞ y +∞ es la unidad.
La probabilidad de que un error este comprendido entre dos valores a y b, vendrá por la
integral:
Que presenta el área comprendida entre la curva de Gauss, lasordenadas levantadas en a y
b, y el eje de abscisas.

ERRORES MODELO MATEMATICO
Para determinar la probabilidad sin necesidad de calcular la integral se han tabulado
los valores de la misma. Si queremos entrar en la tabla que nos da la probabilidad, es
decir el área comprendida entre el eje de ordenadas, la ordenada por la abscisa
correspondiente y la curva de Gauss, hay que tipificar la variable, paralo cual se le
resta la media aritmética y se divide por la deviación típica. De este modo conseguimos
que la media aritmética sea cero y la desviación típica la unidad. La desviación típica
coincide con el error medio cuadrático. Para tipificar una variable hace falta un mínimo
de treinta medidas.

ERRORES MODELO MATEMATICO
• El área comprendida entre -1 y +1, es el 68.27% del
total que es iguala la unidad. El área comprendida
entre -2 y +2, y entre -3 y +3 son respectivamente el
95.45% y el 99.73% del total. Este valor, es decir el
valor de la abscisa que delimita el 99.73% de la
superficie comprendida entre la curva y el eje de la
abscisa corresponde al error máximo, que será más
utilizado en Topografía ya que nos define la tolerancia de
los errores cometidos

ERRORES MODELOMATEMATICO.- EJEMPLO
•

Se ha medido un ángulo con un teodolito sexagesimal y se han realizado
treinta y seis medidas, cuyos resultados son los siguientes:

1. Determinar la probabilidad de que un nuevo valor que obtuviéramos en las
mismas condiciones estuviera comprendido entre 123º42’5.23’’ y 123º42’11.78’’
 
2. Determinar la probabilidad de que un nuevo valor que obtuviéramos en las
mismas condicionesfuera inferior a 123º42’1.80’’
 
3. Determinar la probabilidad de que un nuevo valor que obtuviéramos en las
mismas condiciones fuera superior a 123º42’8.99’’

ERRORES MODELO MATEMATICO.- EJEMPLO
• SOLUCION
 
•

•

En primer lugar calculamos la media aritmética y la desviación típica para
poder tipificar la variable y de esta forma utilizar la tabla que nos da los
valores de la probabilidad....