Clase 5 Introduccion Espacios Vectoriales

- Vectores
Comenzamos considerando las siguientes operaciones con vectores.
- Suma: la resultante u+v de dos vectores u y v se obtiene por la llamada ley del
paralelogramo, esto es, u+v es ladiagonal del paralelogramo determinado por u y v.

-

Producto por un escalar: si (a, b) es el extremo del vector u, entonces (ka, kb) será el
del vector ku.

Identificamos el vector u con su extremo (a,b) yescribimos u=(a,b). Generalizamos
esta noción, llamaremos vector a una n-pla (a1, a2,……. an) de números reales.
Vectores en Rn
El conjunto de todas las n-plas de números reales, denotado por Rn,recibe el nombre
de n-espacio. Una n-pla particular en Rn, digamos:

Se denomina vector, los números reales ui son las componentes del vector.

Dos vectores u y v son iguales, u=v, si tienen el mismonúmero de componentes, es
decir pertenecen al mismo espacio y si las componentes correspondientes son iguales.

-

Combinaciones lineales
Se considera un sistema inhomogeneo de m ecuaciones con nincógnitas:

Este sistema es equivalente a la siguiente ecuación vectorial:

Esto es, la ecuación vectorial

Si este sistema tiene una solución, se dice que v es una combinación lineal de los vectores ui.Definición: un vector v es una combinación lineal de vectores u1, u2,….. un si existen escalares
k1, k2,…. Kn tales que

La ecuación vectorial:

Tiene una solución cuando los xi son escalares adeterminar.

Dependencia lineal
Consideremos un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:

Equivale a la siguiente ecuación vectorial:

Esto es,

Donde u1, u2 , …..un son vectores columnas.
Si elsistema homogéneo anterior tienen una solución no nula, se dice que los vectores
u1, u2, …..un son linealmente dependientes, por el contrario, si el sistema tiene solo la solución
nula, se dice que losvectores son linealmente independientes.

Producto escalar
Sean u y v vectores de Rn

El producto escalar o interno de u y v, denotado por u.v, es el escalar obtenido multiplicando
las componentes...