Clase 9 Semejanza De Tri Ngulos 2015 OK
MT-22
Clase
Semejanza de triángulos
Síntesis de la clase anterior
Congruencia
Dos figuras son congruentes si tienen
la misma forma, el mismo tamaño e igual área.
Criterios de congruencia
o (L.L.L.)
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.)
do (L.A.L.)
4° Lado, lado, ángulo (L.L.A.)
Aprendizajes esperados
•
Comprender el concepto de semejanza en figuras planas yrelacionarlo con las transformaciones isométricas.
•
Aplicar criterios de semejanza en triángulos para la resolución de
problemas y demostración de propiedades.
Pregunta oficial PSU
43. Si Δ ABC ~ Δ DEF, donde AB es homólogo con DE , AB = a cm y
DE = 3a cm,¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) Si el área del triángulo ABC es 16 cm2, entonces el área del triángulo
DEF es 48cm2.
B)
3 ABC DEF
C) El perímetro del triángulo ABC es un tercio del perímetro del triángulo
DEF.
D)
E)
AB // DE, AC // DF y BC / /EF
Ninguna de las anteriores.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
1. Semejanza
2. Criterios de semejanza
3. Elementos homólogos
1. Semejanza
Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan
doscondiciones:
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Así tendrán igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
D
E
A
J
C
B
I
F
H
G
Se llaman lados homólogos a los lados que unen dos vértices con
ángulos respectivamente congruentes.
1. Semejanza
Ejemplo:
En los siguientes hexágonos, los lados AB y GHson homólogos,
como también lo son, BC y HI, CD e IJ, DE y JF, EA y FG.
6
E
3
J
D 2
C
A
5
4
I
12
4
B
8
F
6
G
H
10
Además, en este caso, están en la razón 1 : 2.
1. Semejanza
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son
congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales.
F
Ejemplo:
C
3
A
4
5
B
ABes homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF
9
12
D
15
E
Los lados homólogos están en
razón 1 : 3 = k
AB = BC = AC = 1 = k
DE EF DF
3
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
2. Criterios de semejanza
1° Criterio AA
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes.
Ejemplo:
F
C
A
34o
55o
55o
34o
B
D
ΔABC ~ Δ DFE por: AA
Además,
AB = BC = AC = k
DF
FE DE
E
2. Criterios de semejanza
2° Criterio LLL
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
F
C
4
A
6
5
12
8
B
D
10
E
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
AB = BC = AC = 1 = k
FD
DE FE
2
Además, BAC = DFE, CBA = EDF y ACB = FED
2. Criterios de semejanza
3° Criterio LAL
•Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
F
C
4
57°
AC = BC
FD
ED
12
5
4 = 5 = 1 =k
12
15
3
57°
A
B
D
15
E
Además, BAC = DFE y CBA = FED
2. Criterios de semejanza
Aplicación:
Determinar la medida del lado QR, en el triángulo PQR de la figura:
R
C
4
10
A
B
P
6
Q
Solución:
Los triángulos de la figura son semejantes por AA, Δ ABC ~ Δ PRQ.
Entonces:
Con k, razón
AB CB AC
k
PR QR PQ
AB 10 4
PR QR 6
de semejanza
10 4
60 4 QR 15 QR
QR 6
3. Elementos homólogos
En triángulos semejantes, los elementos secundarios homólogos como
alturas, transversales, bisectrices , simetrales y medianas, también son
proporcionales yestán en la misma razón que sus lados homólogos.
Ejemplo:
Q
C
4
A
3
5
10
6
B
R
AB BC CA
k
PQ QR RP
5 3 4
k
10 6 8
8
k
1
2
P
K: razón de
semejanza
3. Elementos homólogos
Por otro lado,
Q
C
4
A
Por Teorema
de Euclides
hC
3
5
10
6
hR
B
R
hC
3 4 12
2,4
5
5
hR
8
6 8
4,8
10
Luego, las alturas también están en razón 1:2.
hC 2,4 1
k
hR 4,8 2
P...
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