Clase De Aplicacion De Derivada

INSTITUCION: Escuela de Comercio Ntra. Sra. del Rosario N° 5009
ESPACIO CURRICULAR: Matemática
TEMA: Aplicaciones de la derivada
DESTENATARIOS: 3er año de polimodal
RESPONSABLE: Sandra Paola Cruz

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

* Conocer los teoremas fundamentales del tema (punto crítico, monotonía y concavidad)
* Aprender a resolver problemas de optimización aplicando derivada.
*Aprender a aplicar 1era y 2da derivada para determinar monotonía y concavidad de una función.
* Aprender a utilizar lo básico del software fw función.

CONTENIDOS:

Contenidos conceptuales:

* Máximos y mínimos: definición, teorema del punto crítico, problemas de optimización.
* Monotonía y concavidad: Primera derivada y monotonía, teorema de monotonía, segunda derivada yconcavidad, teorema de concavidad, puntos de inflexión.
* Aplicación de software matemático fw función.

Contenidos procedimentales:

* Aplicar máximos y mínimos en problemas de optimización.
* Utilizar primera y segunda derivada analizar monotonía, concavidad y puntos de inflexión de una función.
* Utilizar el software fw función.

APLICACIONES DE LA DERIVADA
Máximos y mínimos
Secomenzara la clase explicando que son los valores máximos y mínimos de una función.
Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños que toma la función en un punto situado en el dominio de la función.
Se dará la definición general de máximos y mínimos
Definición:
Sea c un punto del dominio S en f.
1) f(c) es un valor máximo de f en S, si f(c) ≥ f(x) para todax ∊ S.
2) f(c) es un valor mínimo de f en S, si f(c) ≤ f(x) para toda x ∊ S.
3) f(c) es un valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.

Luego se expondrá el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
f(x) = x2 – 2x con dominio [0; 4]
y su gráfica:

Mirando la gráfica se observa que f tiene:
>Un mínimo en f(1)= -1
>Un máximo en f(4)= 8
Mirando la gráfica se observaque f tiene:
>Un mínimo en f(1)= -1
>Un máximo en f(4)= 8

¿Dónde se presentan los valores extremos?
Vimos que se puede determinar los máximos y mínimos de una función bosquejando su gráfica. Pero de que otra forma podemos obtenerlos? Utilizando derivada. Vemos un teorema importante:
Teorema del punto crítico:
Sea f definida en un intervalo I que contiene el punto c.
Si f(c) es unvalor extremo entonces c debe ser un punto crítico, es decir, será alguno de los siguientes:
1) Un punto frontera de I.
2) Un punto estacionario de f. [f´(c)=0]
3) Un punto singular de f, este es un punto donde f´(c) no existe.
Veamos un ejemplo de cada uno de estos puntos en la siguiente gráfica:

Y estacionariosfrontera

Frontera singular, punto anguloso
x

Luego de explicar cada uno de estos puntos en la gráfica, se expone el procedimiento a seguir.
Procedimientos para determinar los valores máximo y mínimo de una función continua f en un intervalo cerrado I.
Paso 1: Encontrar lospuntos críticos de f en I.
Paso 2: Evalúe f en cada uno de esos puntos. El mayor de los valores será el máximo y el menos será el mínimo.


Ejemplo:
Encuentre los valores máximos y mínimos de f(x)= -2x3+3x2 en [-1/2 ; 2].
Puntos frontera: -1/2 ; 2
Puntos estacionarios:
f´(x) = -6x2+6x; f´(x)=0 -6x2+6x=0 en x=1 y x=0
No hay puntos singulares.
Puntos críticos: -1/2; 0;1 y 2

Evaluamos f(x) en cada uno de estos puntos:
f(-1/2)= -2(-1/2)3+3(-1/2)2 = 1/4+3/4= 1
f(0)= -2(0)3+3(0)2 = 0+0= 0
f(1)= -2(1)3+3(1)2 = -2+3= 1
f(2)= -2(2)3+3(2)2 = -16+12= -4

Máximo: f(-1/2)=f(1)=1
Mínimo: f(2)=-4

Proseguiremos con las aplicaciones de máximos y mínimos en problemas de optimización. Pero antes ver algunos pasos para su resolución.

Pasos para la...