Clase de constitucion

Interpolación de Newton
Con diferencias divididas
 
Explicacion:
Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacion cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.
El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.
Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico parallegar a la ecuacion general, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.

La ecuación general para este método es la siguiente:

Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.
Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una delas que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:
Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos el acomodo quedaria mas o menos asi:
X
f(x)
f(xi,xi)f(xi,xi,xk)
...
...
x0
f(x0)
f(x1,x0)
f(x2,x1,x0)
 
 
x1
f(x1)
f(x2,x1)
 
f(x3,x2,x1,x0)
 
x2
f(x2)
f(x3,x2)
f(x3,x2,x1)
 
f(x4,x3,x2,x1,x0)
x3
f(x3)
 
 
f(x4,x3,x2,x1)
 
x4
f(x4)
f(x4,x3)
f(x4,x3,x2)
 
 
 
La notacion f(x1,x0) se interpreta de la siguiente manera:
,asi como f(x2,x1) es: , esto para b1.
Para b2 la notacion f(x2,x1,x0) es: y asi se van obteniendosucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas(en las que aparece la leyenda bn cuando pasas el mouse en el ejemplo de arriba).
Con este ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:
x
f(x)
_
_
_
-3
2


_
7
-1

_

17
9
_
_
_
27
11


_
Los valores de b se encuentran en las celdas que tienenborde rojo.
Una vez obtenidos dichos valores simplemente se sustituyen en la ecuacion general, se simplifica dicha ecuacion y se tiene una cuya curva pasa casi exactamente por todos los puntos especificados.

 
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

Índice
El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n+1 puntos. Elpolinomio de n-ésimo orden es:



(11)
Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0, X1, ... , Xn.
Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:
b0 = f (X0)


b1 = f [X1, X0]b2 = f [X2, X1, X0]

(12)
...


bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]


En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.
Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:



(13)
La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresageneralemte como:



(14)
De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:



(15)
Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:
f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +
...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]
(16)
Alcual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.
Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (16) estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en orden ascendente, como se ilustra en el ejemplo 3.3
Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada...