Clase No 3

Curso sobre el uso del software Mathematica
Dra. Blanca Esther González Rodríguez
Clase No 3. Cálculo
-

Límites
Derivadas
Integrales
Series
Ecuaciones diferenciales
Sucesiones por recurrencia

Cálculo de límites
Una vez que hemos aprendido a definir funciones, ya podemos manipularlas
cómodamente y lo primero que vamos a aprender es a calcular límites de funciones.
Para encontrar el valor al quetiende una función en un punto, se utiliza la sintaxis
siguiente:
Limit [exp, x →x0]
Donde xo puede ser cualquier número real o el símbolo ∞.
Ejemplos.
x2 1

In[1]:=Limit [ x 2  3x  2 , x →-1]
Ou[1] = -2
In[2]:=Limit [

Sin [ x ]
x , x →0]

Ou[2] = 1
1

In[3]:=Limit [ n

, x →∞]

Ou[3] = 0
En muchos casos necesitamos determinar si existe el límite de una función en un punto,
por la derecha ypor la izquierda del punto (los límites laterales); esto se utiliza con
frecuencia para funciones definidas por ramas donde deseamos averiguar por la
continuidad de la función en el punto de su dominio donde la función cambió la rama.

Límites laterales

Limit [exp, x →x0 , Direction → 1]

Límite por la izquierda del punto x0

Limit [exp, x →x0 , Direction → -1]

Límite por la derecha del punto x0Ejemplos
1

Sea, f ( x )  x

con x  0

Le damos entrada con el mathematica
In[4]:=f [ x ] :

1
x

In[5]:=Limit [ f [ x ] , x →0, Direction→-1]
Ou[5] = ∞
In[6]:=Limit [ f [ x ] , x →0, Direction→1]
Ou[6] = -∞
1

In[7]:=Plot[ x , {x, -1, 1}]
Out[7]=
10

5

1.0

0.5

0.5

1.0

5

10

Derivadas
f x 

Primera derivada de la función de una variable

f ( n ) x 

n-ésima derivada de la función deuna variable

Ejemplos

In[1] : f x _  : Sin[ x]  x 2

In[2] : f x 
Out[2]  2 x  Cos[ x]

Derivadas parciales
D[f, x]

Da la derivada parcial respecto a x, o sea

D[f, {x, n}]

x

Derivadas de orden superior. Da la derivada n respecto a
x, o sea

Ejemplos

f



In[3] : D Sin[ x]  x 2 , x

nf

x n



Out[3]  2 x  Cos[ x]
In[4] : Dx Sin[3x y ], x
Out[4]  3xyCos 3xy  Sin[3xy ]
In[5] : DSin3x, x,2
Out[5]  9 Sin3x

Valores máximo y mínimo
MinValue[f, x]
MinValue[f, {x,y,…}]
MaxValue[f, x]
MaxValue[f, {x,y,…}]

Da el valor mínimo de f respecto a x
Da el valor mínimo de f respecto a x,y,…
Da el valor máximo de f respecto a x
Da el valor máximo de f respecto a x,y,….)

Derivadas de funciones desconocidas (o compuestas)
Ejemplos



In[6] : D x f [ x 2 ],x



Out[6]  f [ x 2 ]  2 x 2 f [ x 2 ]

Integrales
Integratef , x 

Da la integral indefinida  f

Integratef , x, x min , x max 

dx

x max

Da la integral definida

Integratef , x, x min , x max , y, y min , y max ,...

 f dx

x min

x max

Da la integral múltiple



y max

dx

x min

 dy  f

y min

Nota: Se puede trabajar con las paletas y poner directamente el signo deintegral.
Ejemplos
In[1] :  (2 x  Cosx ) dx

Out[1]  x 2  Sinx 
1

In[2] :

x
0

Out[2] 

1
dx
1

3





1
2 3  Log64
18

Series
Series[f, {x, xo, n]
Normal [expr]
SeriesCoefficient[series, n]
SeriesCoefficient[f,{x, xo, n}]

Genera una serie de potencias desarrollada en xo
Convierte expr a una expresión normal
Da el coeficiente de orden n de la serie de potencias
Da elcoeficiente (x –xo)n en la expresión de f en xo

Ejemplos.
In[1]:= Series[Exp[x],{x,0, 10}]
Out[1]=  1  x 

x2 x3 x4
x5
x6
x7
x 8 x 9 x10








 O[ x]11
18
6
24 120 720 5040 8!
9! 10!

In[2]:=Normal [%]
Out[2]  1  x 
In[3]:=

x2 x3 x4
x5
x6
x7
x 8 x 9 x10








18
6
24 120 720 5040 8!
9! 10!

Out[3]=
Ejemplo. Defina una función f que sea el desarrollo de Taylor con 7 términos deLog(1+x) en un entorno de x = 0. Comprobar que dicha función no se puede evaluar en
el punto x = 1 pero si se puede derivar e integrar. Obtener el valor del coeficiente de x5.
In[4]:= f[x_]:=Series[Log[1+x],{x, 0, 7}]
In[5]:= f[1]
In[6]:=Normal[Series[Log[1+x],{x, 0, 7}]
Out[6]=
In[6]:= Integrate[f[x], x]
In[7]:=SeriesCoefficient[f[x], 5]
Ejercicio.


Dada la serie funcional  x

n

n 0

a)...