Clase Primera Cardinal

Sistema de partículas (S de P): Primera Ecuación Cardinal

m1

Iint

Iint

m3

m2

Iint

Iext

MA

S
Fuerzas internas y externas
Fuerzas externas (Fe):

Fuerzas internas (f):

Las que actúan sobre las partículas del sistema y son
debidas a otras partículas o cuerpos no
pertenecientes al sistema
Las que actúan sobre las partículas del sistema y son
debidas a otras partículas o cuerpospertenecientes al
sistema

z

∑Fie
mi

ri

S= compuesto por n partículas

fji
fij
rj

∑Fje

mj

y

x
Ejemplo: lanzo dos pelotas unidas por un resorte, el DCL en un instante
cualquiera en el aire:
m2
FR2
k
m1

m1

m1
m

S = m1, m2 y resorte (mR=0)

FR1
P1

P2

S= compuesto por n partículas

z

∑Fie
mi

ri

fji
fij
rj

∑Fje

mj

y

x
A li
Aplicando
d lla 2ª L
Ley de
d Newton
N t a cada
d una de
d llaspartículas:
tí l
∑F1 = ∑F1e + f21 + f31 + ………….. + fn1

=

m1 a1

∑F2 = ∑F2e + f12 + f32 + ………….. + fn2

= m2 a2

∑F3 = ∑F3e + f13 + f23 + ………….. + fn3 = m3 a3
∑Fn = ∑Fne + f1n + f2n + ………….. + f(n-1)n = mn an
∑Fie : resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula «i»
fij : fuerza que la partícula «i» ejerce sobre la partícula «j»

Sumando miembro a miembro:
∑F1e + f21 + f31 + ………….. +fn1
∑

+

∑F2e + f12 + f32 + ………….. + fn2

=

= m1 dv1/dt =m1 d2r1/dt2

m1 a1

= m2 a2

= m2 dv2/dt =m2 d2r2/dt2

∑F3e + f13
1 + f23 + ………….. + fn3 = m3 a3

= m3 dv3/dt =m3 d2r3/dt2

∑Fne + f1n + f2n + ………….. + f(n-1)n
n 1)n = mn an

= mn dvn/dt =m1 d2rn/dt2

∑Fe + 0

= ∑ mi ai

•

En el primer miembro se verifica que: fij + fji = 0 ya que son pares de acción y reacción

•

Operando en el segundomiembro:

∑ mi ai = ∑mi d2ri/dt2= ∑ d2(miri)/dt2= d2 (∑ miri)/dt2
Multiplicando y dividiendo por la masa total del sistema: M=∑ mi

∑Fe = M/M d2 (∑ miri)/dt2 = M d2 (∑ miri/ ∑ mi)/dt2
∑Fe

=M

d2

rCM/

=rCM

dt2

d2 rCM/ dt2 = aCM

∑Fe = M aCM

rCM= (∑ miri/ ∑ mi)

Vector posición del CM

PRIMERA ECUACION CARDINAL

∑Fxe = M aCMx

∑Fe = M aCM

∑Fye = M aCMy
∑
∑Fze = M aCMz

La Primera EcuaciónCardinal permite describir el movimiento del centro de masa de
cualquier sistema de partículas, sin importar lo amplio que el sistema pueda ser y lo
complicado de su movimiento conjunto

F
CM

aCM= F/M

CM

aCM= F/M

F

CM

aCM= F/M

F

•

Cuando la fuerza resultante pasa por el CM, el cuerpo adquiere un movimiento de
traslación pura con aceleración = F/M

•

Cuando la fuerza resultante no pasa porel CM, el cuerpo adquiere un movimiento de
traslación con aceleración = F/M junto a una rotación alrededor del CM.

z

FR2

y

x
k

m2

FR1

m1

P2
F’
F

P1

m1

F’

+

=

m1 a1

P2 + FR2

=

m2 a2

R2

FR1 = F’R1

Por A y R

F’R1 = F’R2

Por mresorte=0

F’R2 = FR2

P AyR
Por

FR1 = FR2

R1

P1 + FR1

P1 + P2 + FR1+ FR2 =

m2

• Igualdad de módulos
• sentidos opuestos

(m1 + m2 ) aCM

aCM = (m1g+ m2 g) (-k) / (m1 + m2)

aCM = (m1 + m2 )g (-k) / (m1 + m2)

aCM = g ((-k))
La aceleración del centro de masa es igual a la aceleración de la gravedad
→ si se lanza con una velocidad v0 que forma un ángulo α con la horizontal,
horizontal
la trayectoria del CM será parabólica

Cantidad de movimiento o momento lineal
∑Fe = ∑ mi ai
Operando en el segundo miembro:
∑Fe = ∑ mi ai = ∑mi dvi/dt= ∑d(mivi)/dt
Donde (mi vi) = pi

Vector cantidad de movimiento de la partícula «i»

reemplazando en el segundo miembro:
∑Fe = ∑dpi/dt= d (∑pi) /dt= d P/dt
Donde ∑pi = P

Vector cantidad de movimiento total del S de P

PRIMERA ECUACION CARDINAL

∑Fe = M aCM
∑Fe = d P/dt

Solo las fuerzas externas que actúan sobre el S de P pueden hacer variar
la cantidad de movimiento total P de un sistema de partículas∑Fe = d P/dt

∑Fex= d Px/dt
∑Fey= d Py/dt
∑Fez= d Pz/dt

Según hemos definido:

rCM= (∑ miri/ ∑ mi)

vCM = drCM/dt= d(∑ miri/ ∑ mi)/dt = ∑ (mi dri/dt ) / ∑ mi = (∑ mi vi) /M = P/M
P = M vCM

=vi

P = ∑pi

La cantidad de movimiento total de un sistema de p
partículas puede
p
expresarse como:
• la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas
del sistema de partículas
• el...