CLase f. U cHile

Departamento de F´
ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
˜ n
Las Palmeras 3425, Nu˜oa. Casilla 653, Correo 1, Santiago
fono: 562 678 7276
fax: 562 271 2973
e-mail: secretaria@fisica.ciencias.uchile.cl

Apuntes de un curso de

´
F´
ISICA MATEMATICA
segunda edici´n
o

Jos´ Rogan C.
e
V´
ıctor Mu˜oz G.
n

ii

iii

Segundo Curso

´
METODOS DE LA F´
ISICA
´MATEMATICA I

´
Indice
I

Series y Variable Compleja

1

1. Series infinitas.
1.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Pruebas de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Pruebas de comparaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2.2. Prueba de la ra´ de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ız1.2.3. Prueba de la raz´n de D’ Alembert o Cauchy. . . . . . . . .
o
1.2.4. Prueba integral de Cauchy o Maclaurin. . . . . . . . . . . .
1.2.5. Prueba de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Prueba de Raabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7. Prueba de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8. Mejoramiento de convergencia. . . . .. . . . . . . . . . . .
1.3. Series alternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Criterio de Leibniz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Convergencia absoluta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4. Algebra de series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Mejoramiento de la convergencia, aproximacionesracionales.
1.4.2. Reordenamiento de series dobles. . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Series de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Convergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Prueba M de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Prueba de Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Expansi´n deTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.6.1. Teorema de Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Teorema Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3. Expansi´n de Taylor de m´s de una variable. . . . . . . . . .
o
a
1.7. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Convergencia. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Convergencia uniforme y absoluta. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2. Diferenciaci´n e integraci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
1.8.3. Teorema de unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4. Inversi´n de series de potencia. . . . . . . . . . . . . .. . .
o
1.9. Integrales el´
ıpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1. Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
6
6
7
89
11
11
12
13
14
14
15
16
17
18
20
20
21
23
24
25
27
29
29
30
30
30
30
31
32
33
34

´
INDICE

vi

1.9.2. Expansi´n de series. . . . . . . . . . . . . .
o
1.9.3. Valores l´
ımites. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. N´meros de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . .
u
1.10.1. Funciones de Bernoulli. . . . . . . . . . . . .
1.10.2. F´rmula de...