clase01

at
eU
P

N
iv
e

M
iv
ee
n

at
eU
P

P
at
eU

N

De cinco encantadoras j´ovenes con el rostro totalmente tapado, dos tienen ojos marrones, y las
restantes azules. Las j´ovenes de ojos marrones siempre dicen la verdad cuando se les interroga. Las
j´ovenes de ojos azules, son en cambio mentirosas, nunca dicen la verdad. El siguiente problema
fue propuesto a Beremiz Samir, el hombre que calculaba,ver [14].

M

iv
ee
n

Beremiz procedio a preguntar a la primera

¿De qu´e color son tus ojos?

P

at
eU

N

La j´oven respondio en lengua china, totalmente desconocida por Beremiz. Luego se exigio que las
dem´as respuestas se hicieran en a´ rabe, lengua materna de Beremiz. Procediendo a preguntar a la
segunda j´oven
¿Cu´al es la respuesta que acaba de dar tu compa˜nera?

La cual respondio: Elladijo “mis ojos son azules”. Finalmente se pregunto a la tercera j´oven
¿De que color son los ojos de las dos primeras j´ovenes?

N
P

4

U

iv
ee
n
N

M
at
eU

Con esta informaci´on ¿cu´al fue la respuesta de Beremiz?

M

Respondiendo: “La primera tiene ojos marrones y la segunda ojos azules”.

P

M

at
eU

P

Indica quienes son las de ojos marrones y las de ojos azules, pudiendo interrogarsolamente a
tres de ellas, pero solo podr´as hacer una pregunta a cada una. Con las tres respuestas tendr´as que
solucionar el problema, y justificar la soluci´on.

N

M

L´ogica proposicional

n

n

1

N

at
e

M

n
Clase

M

Proposiciones

at
eU
P

Definici´on 1 (Proposici´on).

iv
ee
n

P

M

Definici´on 2 (Negaci´on).

iv
ee
n

at
eU

P

A continuaci´on veremos c´omo combinar proposiciones obteniendonuevas proposiciones, usualmente llamadas proposiciones compuestas , pero aquellas que no son combinaci´on de otras son
llamadas proposiciones simples . En ese sentido, podemos decir que una proposici´on compuesta
es una combinaci´on de proposiciones simples.

N

Dada una proposici´on p representaremos sus posibles valores por medio de una tabla de verdad
como la siguiente:
p
V
F

M
at
eU

P

MLa luna est´a hecha de queso.

La luna no est´a hecha de queso.

iv
ee
n

P

Ejemplo 2. Considerando la lista de proposiciones en la parte izquierda, veamos sus negaciones
en la parte derecha.

En invierno hace fr´ıo.

No es cierto que, en invierno hace fr´ıo.

U

5

P

Diciembre no es el mes de la navidad.

N

Diciembre es el mes de la navidad.

N

¬p
F
V

p
V
F

at
eU

N

Sea p una proposici´on,definimos su negaci´on , ¬p, como la proposici´on con los valores
opuestos, cuya tabla de verdad es:

n

M

at
eU

N

Ejemplo 1. Los enunciados “el cielo es azul”, “el n´umero 2 es par” y “los perros ladran” son
ejemplos de proposiciones. Pero los siguientes enunciados “¿Qu´e hacemos aqu´ı?”, “¡Viva el Per´u!”
y “ no me mires” no son proposiciones.

n

M

Una proposici´on es un enunciado quepuede ser verdadero o falso, pero no ambas a la
vez. La notaci´on usual para una proposici´on son las letras min´usculas p, q, r, · · · .

N

at
eU
P

N
iv
e

at
e

M

n

L´ogica proposicional

at
eU
P

N
iv
e

at
e

M

n

Definici´on 3 (La conjunci´on).

N
P

iv
ee
n

M

p∧q
V
F
F
F

p q
V V
V F
F V
F F

N

Ejemplo 3. Sean p = “El cielo est´a nublado en invierno” y q = “Llover´a hoy con seguridad”,luego
la conjunci´on de ellas es “El cielo est´a nublado en inviero y llover´a hoy con seguridad”.

at
eU

n

M

at
eU
P

Sean p y q dos proposiciones, definimos la conjunci´on de ellas, denotada por p ∧ q, como
la proposici´on “p y q” cuya tabla de verdad es como sigue

Ejemplo 4. Sean p = “Los perros ladran” y q =“los gatos maullan”, luego la conjunci´on de ellas
es “ Los perros ladran y losgatos maullan”.

iv
ee
n

at
eU

P

Ejemplo 5. Sea p =“dos es par” y q =“dos es mayor que tres”. La conjunci´on de p y q es falsa
pues q es falsa.

N

M

No es dif´ıcil deducir de la defici´on por su tabla que la conjunci´on es verdadera unicamente
cuando las proposiciones que la conforman son verdaderas y en cualquier otro caso es falsa.

Definici´on 4 (La disyunci´on).

P

P

Ejemplo 6. Sean p =...