Clase1 Problemas 2011 12 Sol

Ejercicios de Probabilidad
Elisa M. Molanes-L´opez, Depto. Estad´ıstica, UC3M

M´etodos combinatorios
Ejercicio 1. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Indique de cu´antas maneras
puede hacerse esta distribuci´
on si:
a) Los premios son diferentes y cada alumno s´olo puede recibir uno.
b) Los premios son diferentes pero cada alumno puede recibir m´as de uno.
c) Los premios soniguales y cada alumno s´olo puede recibir uno.
d) Los premios son iguales pero cada alumno puede recibir m´as de uno.
Soluci´
on:
En los cuatro apartados se trata de buscar de cu´antas maneras posibles se pueden agrupar los 10
alumnos de la clase en grupos de 3 alumnos. Dependiendo de las condiciones de cada apartado, el
orden que guarden los alumnos en los grupos ser´a irrelevante o no, y losalumnos podr´an aparecer
s´
olo una vez o m´
as de una vez.
a) Al ser los premios diferentes es importante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada
alumno s´
olo puede recibir un premio, cada alumno s´olo podr´a aparecer una vez en el grupo.
Bajo estas condiciones, el n´
umero de posibilidades viene dado por variaciones sin repetici´on
10!
= 10 × 9 × 8 = 720 maneras
de 10 elementos tomadosde 3 en 3, es decir, hay V310 = (10−3)!
de distribuir los premios.
b) Al ser los premios diferentes es importante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada
alumno puede recibir m´
as de un premio, cada alumno podr´a aparecer m´as de una vez en
el grupo. Bajo estas condiciones, el n´
umero de posibilidades viene dado por variaciones con
repetici´
on de 10 elementos tomados de 3 en 3, esdecir, hay VR310 = 103 = 1000 maneras de
distribuir los premios.
c) Al ser los premios iguales es irrelevante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada
alumno s´
olo puede recibir un premio, cada alumno s´olo podr´a aparecer una vez en el grupo.
Bajo estas condiciones, el n´
umero de posibilidades viene dado por combinaciones sin repetici´on
10!
720
de 10 elementos tomados de 3 en 3, esdecir, hay C310 = 10
3 = 3!(10−3)! = 6 = 120 maneras
de distribuir los premios.
d) Al ser los premios iguales es irrelevante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada
alumno puede recibir m´
as de un premio, cada alumno podr´a aparecer m´as de una vez en
el grupo. Bajo estas condiciones, el n´
umero de posibilidades viene dado por combinaciones
con repetici´
on de 10 elementos tomados de 3 en3, es decir, hay CR310 = 10+3−1
= 12
3
3 =
12!
3!(12−3)! = 220 maneras de distribuir los premios.

1

Ejercicio 2. ¿De cu´
antas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco en el que hay 4 sitios
disponibles?
Soluci´
on:
En los grupos de 4 personas ´estas no se pueden repetir y s´ı importa el orden que guardan entre s´ı,
de modo que el n´
umero de posibilidades viene dado por variaciones sinrepetici´on de 10 elementos
10!
tomados de 4 en 4, es decir, hay V410 = (10−4)!
= 5040 maneras de sentar a 10 personas en un banco
en el que hay 4 sitios.
Ejercicio 3. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cu´antas maneras
puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
Soluci´
on:
El orden de las preguntas elegidas no es relevante y adem´as no se puede elegirla misma pregunta
10!
7
varias veces, es decir, las preguntas no se pueden repetir. De modo que hay C10
= 7!(10−7)!
= 120
maneras de elegir 7 de entre un total de 10 preguntas.
Si las 4 primeras preguntas son obligatorias, el alumno s´olo podr´a elegir libremente 3 de las 6
6!
restantes, de modo que dispone de C63 = 3!(6−3)!
= 20 maneras posibles de hacer su elecci´on.

Propiedades de laProbabilidad
Ejercicio 1. Sean A1 , A2 , y A3 sucesos tales que A1 ∪ A2 ∪ A3 = E, A1 ∩ A2 = A1 ∩ A3 = A2 ∩ A3 .
Si Pr(A1 ) = 1/4, Pr(A2 ) = 1/2, y Pr(A1 ∩ A2 ) = 1/8, calcule Pr(A3 ).
Soluci´
on:
En primer lugar hay que tener en cuenta la f´ormula de la probabilidad de la uni´on de 3 sucesos:

Pr(A1 ∪ A2 ∪ A3 )

=

Pr(A1 ) + Pr(A2 ) + Pr(A3 )
− Pr(A1 ∩ A2 ) − Pr(A1 ∩ A3 ) − Pr(A2 ∩ A3 )
+ Pr(A1 ∩ A2 ∩ A3...