Clase1

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Simulación Discreta - Clase 1
En esta primera semana comenzaremos con un repaso sobre operaciones matriciales y como realizarlas con la
ayuda del Software Scilab, junto con la introducción de algunos comandos que utilizaremos a lo largo del curso.
También veremos una introducción a los procesos estocásticos y las cadenas de Markov.

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Manejo de Matrices con el Software Scilab
Podemos ingresar matrices y guardarlas en variables, separando los elementos por comas y las filas con puntos
y comas.
Asi para ingresar la matriz

Debemos escribir el comando

De esta forma ya tenemos guardado en la variable A, la matriz deseada.
Como al ingresar la matriz A al finalno colocamos un ; además de la asignación en la variable A, mostro su
valor por pantalla, si al final colocamos un ; entonces NO se visualiza el valor por pantalla (esto es de utilidad si
son matrices muy grandes o si no deseamos que nos muestre el valor asignado.
Así asignamos otra matriz B y no la mostramos por pantalla:

y la ingresamos en Scilab:

En la ventana del espacio de trabajo(workspace) podemos ver las variables que tenemos definidas:

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Allí aparecen los nombres de las variables definidas, como también podemos ver los valores que toman. Por su
parte si hacemos doble click sobre el nombre de la variable en esta ventana se abre un editor de variables que
nos permite ver el contenido de lasvariables, como tambien modificarlos (por eso editor).

Aquí podemos ver el editor de variables con el contenido de la variable B, una matriz de 3 x 3 con números de
doble precisión. En este caso editamos y cambiamos el valor 0 del elemento de la fila 2 columna 3 por el valor
10.
Con el Scilab fácilmente podemos realizar operaciones entre matrices:
sumas y multiplicaciones A + B y A * B:

el determinantede una matriz,

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y como el determinante de B es distitno de cero entonces existe la inversa de B y la calculamos como:

la transpuesta de una matriz, A', o los autovalores de una matriz, eig(B)

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Procesos Estocásticos - Cadena de Markov¿Qué es un proceso estocástico?

Suponga que se observan algunas características de un sistema en puntos discretos en el tiempo (0, 1, 2, ...).
Dado Xt, el valor de la característica observada en el tiempo t, si no se la conoce con certeza se la puede
considerar una variable aleatoria. Un proceso estocástico discreto en el tiempo estará dado por la relación
entre las variables aleatorias X0, X1,X2, etc.

Ejemplo 1: La ruina del jugador
Supongamos un jugador que a tiempo 0, t0, tiene 10 pesos. En los siguientes intervalos de tiempos, 1, 2, 3 etc.
participa de un juego en el que apuesta $1. Tiene una probabilidad p de ganar y por lo tanto una probabilidad (1
- p) de perder. El objetivo del jugador es duplicar el dinero con el que empieza, y en ese caso retirarse del lugar
de juego. Porsupuesto tambien terminan sus chances si en algún momento llega a quedarse en la bancarrota,
con cero pesos. Definimos la variable aleatoria Xt, que medirá la cantidad de dinero del jugador en el tiempo t.
Se comienza el juego con $10 por lo que X0 = 10, luego X1 = 11 con probabilidad p y X1 = 9 con probabilidad (1
- p). Si en algún dado tiempo Xt = 20 o Xt = 0 entonces allí se termina el juego por loque los valores a tiempos
posteriores serán de 10 o 0 respectivamente.
¿Que es una cadena de Markov?
Un proceso estocástico en el tiempo es una cadena de Markov, si la probabilidad del estado a tiempo t + 1
depende del estado en el tiempo t y no depende de los estados por los que pasó anteriormente (no tiene
memoria). Por lo tanto tenemos:

con pij la probabilidad que estando el sistema en el...