clase14 integracion por fracciones parciales simples caso 1 y2 1

CALC INTEGRAL

















POR: RITA DEDERLE CABALLERO




















MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores más sencillos que el dado.

CASO 1
Todos los factores que aparecen en el denominador sonlineales y distintos.



1.-Resuelve la siguiente integral

De acuerdo a la recomendación planteada en este método analicemos la factorización del denominador

Por lo cual podemos realizar la siguiente descomposición de fracciones:





Realizando las operaciones


Comparando las fracciones podemos deducir de los numeradores que


Sustituyendo de EC. 3 tenemos A = -1 en EC.1 tenemos que B + C = 1, pero de EC.2 tenemos
B = C por lo tanto 2 B = 1 en consecuencia:

Ahora estamos en condiciones de resolver la integral inicial Ec.A obteniendo integrales a las cuales les podemos aplicar las fórmulas de manera inmediata



Aplicando propiedades de los logaritmos podemos decir que:


1.




INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES SIMPLES
La Integración mediante fracciones parciales, esuno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir está dada, por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b,del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le
Corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
Luego nos queda la siguiente igualdad
Ó también lo podemos escribir
Haciendo un Sistema.

Las soluciones son:
Quedando de esta manera:
Con lo cual






Ejemplo: I = ∫ 2x+3 /( x – 2 )( x+5 ) dx

_ 2x+3_ = _ A _ + B _
( x – 2 ) ( x+5 ) ( x – 2 ) ( x + 5 )


_ 2x+3 _ = A ( x+5 ) + B ( x – 2 )
( x – 2 ) ( x+5 ) ( x – 2 ) ( x+5 )


Para el calculo de A se le da un valor arbitrario a x que la vuelva cero.

I forma:
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x – 2 )
Si x = –5

2(–5)+3 = A (–5+5) + B (–5–2)
–10 + 3 = –7B
–7 = –7B
B = 1

Ahora se le da un valor arbitrario a x para que B sea igual a cero.

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x – 2 )
Si x = 2

2(2)+3 = A(2+5)+B(2 – 2)
4+3 = 7A
7 = 7A
A = 1


I = ∫ _Adx_ + ∫ __Bdx__
x –2 x + 5


Se reemplaza el valor de A y B


I = ∫ _(1)dx_ + ∫ __(1)dx__
x – 2 x + 5


I = ∫ _dx_ + ∫ __dx__
x – 2 x + 5
I = ln ( x – 2 ) + ln ( x – 5 ) + c


II forma:

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x – 2 )

2x+3 = Ax+5A + Bx – 2B

2x+3 = (A+ B)x + (5A – 2B)

Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes dos formulas:Ec#1 2 = A+B
Ec#2 3 = 5A–2B

Para eliminar el coeficiente B se multiplica la primera ecuación por 2:

2A+2B = 4
5A–2B = 3
7A = 7
A = 1

Reemplazando en la Ec#1:

2 = A+B
2 = 1+B
B = 2–1
B = 1


CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, lecorresponde una suma de n fracciones de la forma


Calculemos la siguiente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:






Ejemplo: I = ∫ 2x+3 /( x – 2 )( x+5 ) dx

_ 2x+3 _ = _ A _ + B _
( x – 2 ) ( x+5 ) ( x – 2 ) ( x + 5 )


_ 2x+3 _ = A ( x+5 ) + B ( x – 2 )
( x – 2 ) ( x+5 )...