Clase9

Distribución
Chi (o Ji) cuadrada (χ2)

•

PEARSON, KARL. On the Criterion that a Given System of Deviations
from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such
that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random
Sampling

•

El famoso artículo de Karl Pearson sobre la distribución Chi-cuadrada
apareció en la primavera de 1900, lo que se puede considerar un inicioauspicioso a un magnífico siglo para el campo de la estadística -B. Efron,
The Statistical Century

La distribución Chi-Cuadrada (chi squared en inglés, se pronuncia “Kay
skuerd”) es una de las distribuciones más empleadas en todos los campos. Su
uso más común es cuando se quiere probar si unas mediciones que se hayan
efectuado siguen una distribución esperada, por ejemplo la normal o cualquierotra.
Otro de sus usos es en intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para las
varianzas o desviaciones estándar.
Empezaremos ilustrando la definición de la distribución para proceder a
ejemplos de uso práctico.

Supongamos que se efectúa el siguiente experimento estadístico.
Seleccionamos una muestra aleatoria de tamaño n de una población con
distribución normal, con desviación estandarigual a σ. De la muestra
encontramos que la desviación estandar es igual a s. Con estos datos podemos
calcular una estadística, que llamamos Chi-Cuadrada,
Cuadrada por medio de la
siguiente ecuación:
2
2
2

χ =

( n − 1) ⋅ s

σ

Si repetimos el experimento un número infinito de veces, obtendríamos una
distribución muestral para la estadística chi-cuadrada.
cuadrada Pero la distribución
final quetendríamos se puede definir por la siguiente ecuación:

ν

Y = Y0 ⋅ χ ( − 1)e
2
2

−

χ2
2

Donde Y0 es una constante que depende del número de grados de libertad (υ =
n – 1, n es el tamaño de la muestra), χ2 es el valor de chi-cuadrada y e es el
llamado número natural (aproximadamente 2.71828). Y0 se define de forma
que el área bajo la curva sea igual a 1.

Si graficamos curvas para diferentesvalores de n, encontramos que
la forma de la distribución chi cuadrada cambia dependiendo del
número de grados de libertad.
Distribution Plot
Chi-Square
df
2
4
6
10
30

0.5

Density

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

0

10

20

30
X

40

50

60

También vemos que al aumentar el número de grados de libertad,
la curva se aproxima a la distribución normal.

La distribución chi cuadrada tiene las siguientespropiedades:
propiedades
•La media es igual al número de grados de libertad (que es igual al tamaño
de las muestras menos 1): μ = ν = n – 1
•La varianza es igual a dos veces el número de grados de libertad (por lo
tanto la desviación estándar es la raíz cuadrada de 2ν):
σ2 = 2 * ν
•Cuando los grados de libertad son mayores o iguales que 2, el máximo
valor de Y ocurre cuando

χ2=ν–2
•Conforme los gradosde libertad (tamaño de la muestra) aumenta, la
distribución chi-cuadrada se aproxima a la distribución normal.
normal

Ejemplo de χ2 cuadrada para 5 muestras

La desviación estándar es

σ = σ 2 = 2 ⋅ν = ± 8

La media μ = ν = 4 (es igual a n-1)
El valor máximo ocurre para
χ2 = ν – 2 = 2

Probabilidad Acumulativa y la Distribución Chi-cuadrada
La distribución χ2, como otras distribuciones porejemplo la t de student y
la z-normal estándar,
ndar se construye de forma que el área total bajo la
curva sea igual a 1. El área bajo la curva entre 0 y un valor particular de la
estadística chi-cuadrada es la probabilidad asociada con ese valor. Por
ejemplo, en la figura, el área sombreada representa la probabilidad
acumulada para una χ2 igual a un valor A.

Supóngase que en una determinada muestrase observan una serie de
posibles sucesos E1, E2, E3, . . . , EK, que ocurren con frecuencias o1, o2,
o3, . . ., oK, llamadas frecuencias observadas y que, según las reglas de
probabilidad, se espera que ocurran con frecuencias e1, e2, e3, . . . ,eK
llamadas frecuencias teóricas o esperadas.
A menudo se desea saber si las frecuencias observadas difieren
significativamente de las frecuencias...