ClaseN3

´
CALCULO
INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
CLASE # 3

4.8. Antiderivadas.
b

Vimos como calcular

f (x)dx usando sumas de Riemann. La idea es buscar un m´etodo m´aseficiente
a

para evaluar integrales definidas. Para tal fin estudiamos el concepto de antiderivada.
Definici´
on. Una funci´
on F se dice una antiderivada de una funci´on f sobre un intervalo I si
F (x) = f(x) para todo x ∈ I.

Ejemplo.
• F (x) =

x3
es una antiderivada de f (x) = x2 en I = (−∞, ∞), ya que
3
F (x) = x2 = f (x) para todo x ∈ (−∞, ∞) .

• G(x) =

x3
+ 5 es otra antiderivada de f (x) = x2en I.
3

En general, cualquier funci´
on de la forma
H(x) =

x3
+ C, C ∈ R,
3

es una antiderivada de f (x) = x2 en I.
M´
as general, si F es una antirerivada de una funci´on f en I, entonces
F (x) +C, C ∈ R
es una antiderivada de f en I.
Notaci´
on. La igualdad f (x)dx = F (x) + C, C cualquier constante, significa que F es una antiderivada
de f . A f (x)dx se le denomina integral indefinida def. Tambi´en se dice que f (x)dx es la antiderivada
m´
as general de f .
Observar que una integral definida es un n´
umero y una integral indefinida es una familia de funciones.
Ejemplos.
1)

sen(x)dx= − cos(x) + C, pues F (x) = − cos(x) es una antiderivada de f (x) = sen(x), ya que

d
[− cos(x)] = sen(x).
dx
2)
3) 5

5 sen(x)dx = −5 cos(x) + C, pues

d
[−5 cos(x)] = 5 sen(x).
dx

sen(x)dx = 5(−cos(x) + C1 ) = −5 cos(x) + 5C1 = −5 cos(x) + C.

Se sigue de 2) y 3) que

5 sen(x)dx = 5

sen(x)dx.

1

Propiedades.
1)

af (x)dx = a

f (x)dx.

2)

[f (x) ± g(x)] dx =

3)

[a1 f1 (x) + · · · + anfn (x)] dx = a1

f (x)dx ±

g(x)dx.
f1 (x)dx + · · · + an

fn (x)dx.

Tabla de antiderivadas o integrales indefinidas.
1)

1dx = x + C

adx = ax + C.

2)

xr dx =

3)

1
dx = ln |x| + C.
x

4)

ex dx =ex + C

5)

cos(x)dx = sen(x) + C

xr+1
+ C; para r = −1
r+1

ax dx =

sen(x)dx = − cos(x) + C

sec2 (x)dx = tan(x) + C

sec(x) tan(x)dx = sec(x) + C

csc2 (x)dx = − cot(x) + C
6)

√

ax
+ C.
ln a...