ClaseN9

´
CALCULO
INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
CLASE # 9

5.10. Integrales impropias.
El objetivo de esta clase es estudiar las integrales impropias que son una extensi´on del concepto de integral
definida al caso en que el intervalo de integraci´on sea infinito, y tambi´en al caso en que f tiene una
discontinuidad infinita en [a, b]. En cualquier caso la integral sedenomina impropia.
Tipo 1. Intervalos infinitos.
1
; x ≥ 1.
x3

Motivaci´
on. Consideremos f (x) =

Se podr´ıa pensar que el ´
area es infinita. Ahora, por definici´on
t

A(t) =
1

Observar que para todo t = 0, A(t) ≤

t

1
1
dx = − 2
x3
2x

=
1

1
1
−
.
2 2t2

1
. M´as a´
un,
2
1
.
2

lim A(t) =

t→∞

Diremos que
∞
1

1
dx = lim
t→∞
x3

t
1

1
1
dx = .
x3
2

Definici´
on.
∞

• Diremos que lasintegrales impropias

b

t

f (x)dx y

f (x)dx son convergentes , si lim

t→∞

−∞

a

f (x)dx y
a

b

lim

t→−∞

f (x)dx existen y son finitos. En caso contrario decimos que son divergentes.
t
∞

a

• Si tanto

f (x)dx como
−∞

∞

a

a

f (x)dx =
−∞

f (x)dx.
a

∞

a

f (x)dx diverge o
−∞

f (x)dx converge y
−∞

∞

f (x)dx +
−∞

• Si

∞

f (x)dx son convergentes, entonces diremos que

∞

f (x)dxdiverge, entonces

f (x)dx es divergente.
−∞

a

1

Ejemplo. Determine si las integrales convergen o divergen.
∞

(a)

t

1
dx = lim
t→∞
x+3
2
integral diverge.
√

√
2

√
1
dx = lim 2 x + 3
t→∞
x+3

0

0

e3x dx =

e3x dx = lim

(b)

t→−∞

−∞
∞

t

= 2 lim

0

3

t

3

t→∞

0
0

3

x2 e−x dx = −
−∞

1
3
− e−x
3

3

x2 e−x dx = lim

x2 e−x dx = lim

t→∞

0

1
3
lim e−x
3 t→∞

∞

t+3−

∞

3

√

5 = ∞.Por lo tanto, la

0

=−
t

1
3

lim

t→∞

3

x2 e−x dx.

x2 e−x dx y
−∞

−∞
∞

√

t→∞

1
1
lim 1 − e3t = , as´ı la integral converge.
3 t→−∞
3

x2 e−x dx. Sea a = 0 , debemos analizar

(c)

t
2

0
t
0

1
=−
3

1 − e−t

3

3

lim

t→∞

e−t − 1

=

1
; luego converge.
3

= ∞; por tanto diverge.

3

x2 e−x dx diverge.

En conclusi´
on
−∞

Ejemplo. (Importante).
∞

¿Para qu´e valores de p la integral1

1
dx es convergente?
xp

Soluci´
on. Debemos considerar varios casos:
∞

Si p = 1 :
1
∞

Si p = 1 :
1

1
dx = lim
t→∞
x
1
dx = lim
t→∞
xp

t
1

1
t
dx = lim [ln(x)]1 = ∞. (diverge).
t→∞
x
t

1

1
x−p+1
dx
=
lim
t→∞ −p + 1
xp

t

=
1

· p > 1 : p − 1 > 0 =⇒ tp−1 → ∞ cuando t → ∞; ∴

1
lim
1 − p t→∞

1
tp−1

−1

1
→ 0 si t → ∞ (converge).
tp−1

1
= t−(p−1) → ∞ si t → ∞
(diverge).
tp−1
∞
−1
1
1
dxconverge a
=
si p > 1, y diverge si p ≤ 1.
En resumen,
p
1−p
p−1
1 x
· p < 1 : p − 1 < 0 =⇒

Tipo 2. Integrandos con discontinuidad infinita.
Supongamos que se tiene la siguiente situaci´on:

b

Como antes A(t) =

f (x)dx. Si lim A(t) existe y es finito entonces escribimos
t

t→a+

b
a

b

f (x)dx = lim+
t→a

2

f (x)dx
t

b

y decimos que

f (x)dx converge.
a

t

b

De manera an´
aloga cuandolim− |f (x)| = ∞, se define
t→b

existe.

a

f (x)dx = lim−
t→b

f (x)dt cuando este l´ımite
a

En caso contrario decimos que la integral diverge.
b

c

• Si la discontinuidad infinita es en c ∈ [a, b] y tanto

4

Ejemplo. Determinar si la integral

t

Analizamos lim−
t→2

t
1
4

dx
(x − 2)
dx

1
3

1

t

(x − 2) 3
4

Luego
1

1

(x − 2)

3
2
(x − 2) 3
2
3
2
(x − 2) 3
=
2

1
3

t

=

dx
(x − 2)1
3

1

es discontinua en x = 2.

1

(x − 2) 3
4

dx

converge o no.

1

(x − 2) 3

1

Soluci´
on. Observar que f (x) =

dx

y lim+
t→2

dx
1

t

f (x)dx.
c

a

a

a

f (x)dx son convergentes,
c

b

f (x)dx +

f (x)dx =

f (x)dx converge y

entonces

a

c

b

b

f (x)dx como

(x − 2) 3

.

3
3
2
(t − 2) 3 − 1 → − cuando t → 2− .
2
2
2
3 3
3√
2
=
2 − (t − 2) 3 → 3 4 cuando t → 2+ .
2
2

=
1
4
t

33√
converge a − + 3 4.
2 2

Nota. Antes de evaluar una integral definida, debemos primero verificar si es continua en el intervalo de
integraci´
on.
Prueba de comparaci´
on para integrales impropias.
Algunas veces no es posible calcular el valor exacto de una integral impropia y sin embargo queremos saber
si converge o no, para tal fin utilizamos el siguiente teorema:
Teorema de comparaci´
on....