Clases De Logica, Conjuntos, Relaciones

LÓGICA Las proposiciones representan frases o expresiones que poseen un valor de verdad, el cual puede ser verdadero o falso. Para representar las proposiciones normalmente se emplean las letras p, q, r.

Definición 1 . Dada una proposición p, se define la negación ``∼ p" como la proposición que tiene valor de verdad de acuerdo a la tabla:
p V F ∼p F V

Proposición 2. Dada una proposiciónp, el valor de verdad de ∼(∼ p) es el mismo que el de p.

Definición 3-4-5-6. Dadas las proposiciones p ,q, se definen la disyunción p ∨ q ; la conjunción p ∧ q; la implicación p ⇒ q y la equivalencia p ⇔ q como las proposiciones que tiene un valor de verdad de acuerdo a la siguiente tabla:
p V V F F q V F V F p∨q V V V F p∧q V F F F p⇒q V F V V p⇔q V F F V

Proposición 7: Sean p , qproposiciones entonces : (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) tiene el mismo valor de verdad de p ⇔ q Definición 8. Una proposición se denomina tautología si su valor de verdad es verdadero, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Las tautologías se representan usualmente con la letra τ (tau) . Definición 9. Una proposición se denomina contradicción o absurdo si su valor de verdad esfalso, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Las contradicciones se representan con la letra α (alpha).

Observación 10: Para evitar un exceso de paréntesis convendremos que los símbolos ∨ y ∧ tienen prioridad sobre ⇒ y ⇔. Así, por ejemplo p ⇒ q ∨ r será interpretada como p ⇒ (q ∨ r). Teorema 11 : Sean p , q y r proposiciones . Las siguientes proposiciones sontautologías (o teoremas lógicos) 11.1) ∼(∼ p) ⇔ p 11.2) p ∨ ∼ p (Principio del tercero excluido) 11.3) p ⇔ p (Principio de identidad) 11.4) p ∨ p ⇔ p (Idempotencia) p∧p⇔p 11.5) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Conmutatividad) p∧q⇔q∧p

11.6) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) (Asociatividad) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) 11.7) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ( Distributividad ) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 11.8) p ⇒ q ⇔ ∼p ∨ q 11.9) p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q ∧ q ⇒ p) 11.10) ∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q (Ley de De Morgan) ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q 11.11) p ⇒ p ∨ q ; p ∧ q ⇒ p 11.12) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (Transitividad) 11.13) (p ⇒ q) ⇔ ( ∼ q ⇒ ∼ p) (Contrarrecíproca) 11.14) p ∧ τ ⇔ p , p ∨ τ ⇔ τ , ( τ ≡ V , α ≡ F ) 11.15) p ∧ α ⇔ α , p ∨ α ⇔ p , p ∧ ∼ p ⇔ α ≡ F

Conjuntos
Dados un elemento a y un conjunto A, entonces conel signo ∈ se construye la proposición a ∈ A. Definición 1. La proposición ∼(a ∈ B) se escribe a ∉ B y se lee a no pertenece a B o a no es elemento de B.

Un conjunto puede definirse por extensión o por comprensión. Los diagramas de Venn, denominados así en honor al lógico inglés John Venn, son figuras geométricas (círculos y rectángulos principalmente) o curvas cerradas que representanconjuntos. Las figuras se superponen parcialmente entregando una representación pictórica de las relaciones entre los conjuntos.

Definición 2. Una variable es un objeto que forma parte de una expresión matemática y que puede ser reemplazada por un elemento, conjunto o proposición según la expresión en la cual aparezca, dando origen así a un conjunto, elemento o proposición de acuerdo al contexto.Definición 3. Se llama función proposicional a la expresión que consta de variables que al sustituirlas por elementos o conjuntos se transforma en una proposición. Usaremos expresiones como p(y) y q(x,z) para representar funciones proposicionales. Definición 4. El símbolo “/” se lee "tal que" y tiene el sentido de una conjunción. Es decir, equivale al conectivo ∧.

Recordemos algunos conjuntosnuméricos utilizados en matemática: IN={1,2,3,…} es el conjunto de los números naturales. IN0={0,1,2,3,…} es el conjunto de los números cardinales, o simplemente el conjunto de los naturales con el cero. Z={…,-2,-1,0,1,2,…} es el conjunto de los números enteros. Q={a/b / a ∈ Z ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0} donde a / b = c /d ⇔ ad = bc, es el conjunto de los números racionales. I es el conjunto de los números...