clases de mate

Capítulo 7
Números Reales
Desigualdades e Inecuaciones
7.1 Números reales.
Suponemos la existencia de un conjunto ‘ a cuyos elementos se llaman números
reales
Axiomas de suma
En ‘, se define una operación que se llama suma que verifica a Bß C , D reales
arbitrarios los siguientes axiomas:
S"

ÐB  CÑ − ‘

S#

BC œCB

S$
S%

B  aC  D b œ aB  C b  D

El conjunto ‘contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 y
que verifica B  ! œ B

S&

El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por  B
y que verifica B  a  Bb œ !

Axiomas de multiplicación
Análogamente, en ‘ definimos una segunda operación llamada multiplicación
que verifica a Bß C y D reales arbitrarios los siguientes axiomas:
M"

aB Cb − ‘

BC œ CB

M#

B aCD b œ aB Cb D

M$

El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por " y

M%

que verifica B " œ B
El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por B"
con B Á ! y que verifica B B" œ "

M&

Axioma de distribución
Para todo Bß C y D reales arbitrarios se tiene

B aC  D b œ B C  B D

Nota 1.
Asi ‘, con estas operaciones definidas y axiomasconstituye un cuerpo. A partir
de estos axiomas se fundamentan los reglas del álgebra elemental de reales, que
expondremos a continuación como teoremas.

Teorema 1
1)

El elemento neutro 0 es único.

2)

El opuesto Ð  BÑ para cada real Bß es único.

4)

Si B  D œ C  D Ê B œ C

5)

Dados Bß C existe un único D tal que B  D œ Cß el cual se acostumbra a

3) El opuesto de Ð BÑ es Bß es decir  a  Bb œ B

denotar D œ C  B
6)

B a  Cb œ  aB Cb œ a  Bb C

() B aC  D b œ B C  B D
)) ! B œ !

*) B C œ ! Ê B œ ! ” C œ !
"!Ñ El elemento neutro " es único
11) El inverso B" de B Á ! es único
12) El inverso de B" es Bß es decir ÐB" Ñ" œ B
"$Ñ Si B D œ C D Ê B œ C
14) Dados Bß C existe un único D tal que B D œ Cß el cual se acostumbra a denotar
porC
B

o C B" con B Á !

15) a Bß C Á ! à aB C b" œ B" C "
16) a Bß C Á ! à Š B ‹
C

"

œ

C
B

17) a B Á ! à a  Bb" œ  ÐB" Ñ œ  B"
Nota 2.
Algunas de las demostraciones de este teorema se encuentran en ejercicios resueltos
y el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.2 Orden en los realesÞ
Sea un ‘ un subconjunto de ‘ llamado conjunto de los realespositivos, cuyos
elementos satisfacen los siguientes axiomas

Axiomas de orden
! Á ‘

O"

a Bß C − ‘ ß ÐB  CÑ − ‘ y aB C b − ‘

O#

a B − ‘ß con B Á ! à B − ‘ ”  B − ‘

O$

Teorema 2
1)

" − ‘ Ð ‘ Á gÑ

#Ñ ‘ Á g
$Ñ ! Â ‘
%Ñ ‘  ‘ œ g
&Ñ ‘  Ö!×  ‘ œ ‘
Observe que &Ñ garantiza que cada real es: negativo, nulo o es positivo es decir
a B − ‘ À B − ‘  ” B œ ! ” B −‘
Nota 3.
Algunas de las demostraciones del teorema 2 se encuentran en ejercicios resueltos y
el resto se dejan como ejercicios propuestos

Definición 1.
a Bß C − ‘ se definen las relaciones; "  "(mayor que), "  "(menor que),
"   "(mayor o igual que) y "  "(menor o igual que) por:
i)

B  C Í aB  Cb − ‘

ii) B  C Í C  B

iii) B   C Í aB  Cb − ‘ ” aB œ C b
iv) B Ÿ C Í C   BObservación 1.
A partir de los axiomas de orden y de la definición 1 se derivan todas las reglas para
operar con desigualdades, las cuales se expondran en el teorema 3.
Teorema 3

"Ñ a Bß C − ‘ se tiene una y solo una de las siguientes relaciones:
BC ” BœC ” BC
2)

Si B  C • C  D Ê B  D

$Ñ

BC ÍBD CD

4)

Si B  C • D  ! Ê B D  C D

&Ñ

Si B  C • D  ! Ê B D C D

'Ñ Si B Á !, a B − ‘ß Ê B#  !
(Ñ Si B C  ! Ê ÐB  ! • C  !Ñ ” ÐB  ! • C  !Ñ
)Ñ Si B  C • D  A Ê B  D  C  A
9)

Si B  ! Ê B"  !

10) Si B  C  ! Ê C"  B"
""Ñ Si B  C  ! • D  A  ! Ê B D  C A
12) a Bß C − ‘ se tiene À B#  C #   # B C
13) Si B  Cß existe D − ‘ß tal que B  D  C
"%Ñ Si B   C • C   B Ê B œ C

Nota 4.

Algunas de las demostraciones del...