Clases_Logica_Conjuntos_Relaciones_Funciones_
Páginas: 27 (6546 palabras)
Publicado: 14 de octubre de 2015
LÓGICA
Las proposiciones representan frases o
expresiones que poseen un valor de verdad,
el cual puede ser verdadero o falso. Para
representar las proposiciones normalmente
se emplean las letras p, q, r.
Definición 1 . Dada una proposición p,
se define la negación ``∼ p" como la
proposición que tiene valor de verdad de
acuerdo a la tabla:
p
∼p
V
F
F
V
Proposición 2. Dada una proposiciónp,
el valor de verdad de ∼(∼ p) es el mismo
que el de p.
Definición 3-4-5-6. Dadas las proposiciones p ,q,
se definen la disyunción p ∨ q ; la conjunción p
∧ q; la implicación p ⇒ q y la equivalencia p
⇔ q como las proposiciones que tiene un
valor de verdad de acuerdo a la siguiente tabla:
p
q
p∨q
p∧q
p⇒q
p⇔q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V Proposición 7: Sean p , q proposiciones entonces :
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) tiene el mismo valor de verdad de p ⇔ q
Definición 8. Una proposición se denomina tautología si su
valor de verdad es verdadero, cualquiera sean los valores de
verdad de las proposiciones que la componen. Las
tautologías se representan usualmente con la letra τ (tau) .
Definición 9. Una proposición se denomina contradicción o
absurdo si suvalor de verdad es falso, cualquiera sean los
valores de verdad de las proposiciones que la componen. Las
contradicciones se representan con la letra α (alpha).
Observación 10: Para evitar un exceso de
paréntesis convendremos que los símbolos ∨ y ∧
tienen prioridad sobre ⇒ y ⇔. Así, por ejemplo
p ⇒ q ∨ r será interpretada como p ⇒ (q ∨ r).
Teorema 11 : Sean p , q y r proposiciones . Lassiguientes proposiciones son tautologías (o
teoremas lógicos)
11.1) ∼(∼ p) ⇔ p
11.2) p ∨ ∼ p
(Principio del tercero excluido)
11.3) p ⇔ p
(Principio de identidad)
11.4) p ∨ p ⇔ p
(Idempotencia)
p∧p⇔p
11.5) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Conmutatividad)
p∧q⇔q∧p
11.6) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
(Asociatividad)
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
11.7) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ( Distributividad )
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨r)
11.8) p ⇒ q ⇔ ∼ p ∨ q
11.9) p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q ∧ q ⇒ p)
11.10) ∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q
(Ley de De Morgan)
∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q
11.11) p ⇒ p ∨ q ; p ∧ q ⇒ p
11.12) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (Transitividad)
11.13) (p ⇒ q) ⇔ ( ∼ q ⇒ ∼ p)
(Contrarrecíproca)
11.14) p ∧ τ ⇔ p , p ∨ τ ⇔ τ , ( τ ≡ V , α ≡ F )
11.15) p ∧ α ⇔ α , p ∨ α ⇔ p , p ∧ ∼ p ⇔ α ≡ F
Conjuntos
Dados un elemento a y un conjuntoA,
entonces con el signo ∈ se construye la
proposición
a ∈ A.
Definición 1. La proposición ∼(a ∈ B) se
escribe a ∉ B y se lee a no pertenece a B o
a no es elemento de B.
Un conjunto puede definirse por extensión
o por comprensión.
Los diagramas de Venn, denominados así
en honor al lógico inglés John Venn, son
figuras geométricas (círculos y rectángulos
principalmente) o curvas cerradas querepresentan conjuntos. Las figuras se
superponen parcialmente entregando una
representación pictórica de las relaciones
entre los conjuntos.
Definición 2. Una variable es un objeto que forma parte
de una expresión matemática y que puede ser
reemplazada por un elemento, conjunto o proposición
según la expresión en la cual aparezca, dando origen así a
un conjunto, elemento o proposición de acuerdo alcontexto.
Definición 3. Se llama función proposicional a la
expresión que consta de variables que al sustituirlas por
elementos o conjuntos se transforma en una proposición.
Usaremos expresiones como p(y) y q(x,z) para
representar funciones proposicionales.
Definición 4. El símbolo “/” se lee "tal que" y tiene el
sentido de una conjunción. Es decir, equivale al conectivo
∧.
Recordemos algunosconjuntos numéricos utilizados en matemática:
IN={1,2,3,…} es el conjunto de los números naturales.
IN0={0,1,2,3,…} es el conjunto de los números cardinales, o
simplemente el conjunto de los naturales con el cero.
Z={…,-2,-1,0,1,2,…} es el conjunto de los números enteros.
Q={a/b / a ∈ Z ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0} donde a / b = c /d ⇔ ad = bc, es el
conjunto de los números racionales.
I es el conjunto de los...
Las proposiciones representan frases o
expresiones que poseen un valor de verdad,
el cual puede ser verdadero o falso. Para
representar las proposiciones normalmente
se emplean las letras p, q, r.
Definición 1 . Dada una proposición p,
se define la negación ``∼ p" como la
proposición que tiene valor de verdad de
acuerdo a la tabla:
p
∼p
V
F
F
V
Proposición 2. Dada una proposiciónp,
el valor de verdad de ∼(∼ p) es el mismo
que el de p.
Definición 3-4-5-6. Dadas las proposiciones p ,q,
se definen la disyunción p ∨ q ; la conjunción p
∧ q; la implicación p ⇒ q y la equivalencia p
⇔ q como las proposiciones que tiene un
valor de verdad de acuerdo a la siguiente tabla:
p
q
p∨q
p∧q
p⇒q
p⇔q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V Proposición 7: Sean p , q proposiciones entonces :
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) tiene el mismo valor de verdad de p ⇔ q
Definición 8. Una proposición se denomina tautología si su
valor de verdad es verdadero, cualquiera sean los valores de
verdad de las proposiciones que la componen. Las
tautologías se representan usualmente con la letra τ (tau) .
Definición 9. Una proposición se denomina contradicción o
absurdo si suvalor de verdad es falso, cualquiera sean los
valores de verdad de las proposiciones que la componen. Las
contradicciones se representan con la letra α (alpha).
Observación 10: Para evitar un exceso de
paréntesis convendremos que los símbolos ∨ y ∧
tienen prioridad sobre ⇒ y ⇔. Así, por ejemplo
p ⇒ q ∨ r será interpretada como p ⇒ (q ∨ r).
Teorema 11 : Sean p , q y r proposiciones . Lassiguientes proposiciones son tautologías (o
teoremas lógicos)
11.1) ∼(∼ p) ⇔ p
11.2) p ∨ ∼ p
(Principio del tercero excluido)
11.3) p ⇔ p
(Principio de identidad)
11.4) p ∨ p ⇔ p
(Idempotencia)
p∧p⇔p
11.5) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Conmutatividad)
p∧q⇔q∧p
11.6) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
(Asociatividad)
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
11.7) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ( Distributividad )
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨r)
11.8) p ⇒ q ⇔ ∼ p ∨ q
11.9) p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q ∧ q ⇒ p)
11.10) ∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q
(Ley de De Morgan)
∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q
11.11) p ⇒ p ∨ q ; p ∧ q ⇒ p
11.12) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (Transitividad)
11.13) (p ⇒ q) ⇔ ( ∼ q ⇒ ∼ p)
(Contrarrecíproca)
11.14) p ∧ τ ⇔ p , p ∨ τ ⇔ τ , ( τ ≡ V , α ≡ F )
11.15) p ∧ α ⇔ α , p ∨ α ⇔ p , p ∧ ∼ p ⇔ α ≡ F
Conjuntos
Dados un elemento a y un conjuntoA,
entonces con el signo ∈ se construye la
proposición
a ∈ A.
Definición 1. La proposición ∼(a ∈ B) se
escribe a ∉ B y se lee a no pertenece a B o
a no es elemento de B.
Un conjunto puede definirse por extensión
o por comprensión.
Los diagramas de Venn, denominados así
en honor al lógico inglés John Venn, son
figuras geométricas (círculos y rectángulos
principalmente) o curvas cerradas querepresentan conjuntos. Las figuras se
superponen parcialmente entregando una
representación pictórica de las relaciones
entre los conjuntos.
Definición 2. Una variable es un objeto que forma parte
de una expresión matemática y que puede ser
reemplazada por un elemento, conjunto o proposición
según la expresión en la cual aparezca, dando origen así a
un conjunto, elemento o proposición de acuerdo alcontexto.
Definición 3. Se llama función proposicional a la
expresión que consta de variables que al sustituirlas por
elementos o conjuntos se transforma en una proposición.
Usaremos expresiones como p(y) y q(x,z) para
representar funciones proposicionales.
Definición 4. El símbolo “/” se lee "tal que" y tiene el
sentido de una conjunción. Es decir, equivale al conectivo
∧.
Recordemos algunosconjuntos numéricos utilizados en matemática:
IN={1,2,3,…} es el conjunto de los números naturales.
IN0={0,1,2,3,…} es el conjunto de los números cardinales, o
simplemente el conjunto de los naturales con el cero.
Z={…,-2,-1,0,1,2,…} es el conjunto de los números enteros.
Q={a/b / a ∈ Z ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0} donde a / b = c /d ⇔ ad = bc, es el
conjunto de los números racionales.
I es el conjunto de los...
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