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TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Buscamos hallar el vector [X] que satisface la ecuación
Hay 3 casos
1. La solución existe y es única si el determinante de [A] es diferente de 0
2. No hay solución al sistema
3. Hay infinitas soluciones
La solución se encuentra por métodos directos y por métodos aproximados
Estudiamos dos métodos:
1. Método de CHOLESKY (directo)
2.Método de GAUSS-SEIDEL (Numérico)
METODO DE CHOLESKY
Escribiendo matricialmente el problema
↔ [A]* [X]= [B]
CHOLESKY propone descomponer [A] como el producto de dos matrices
[A] = [L]* [U] donde L es una matriz triangular inferior (Lower) y [U] es una matriz triangular superior (Upper)
Si esto es posible
([L] *[U])*[X]= [B]
Por las reglas del cálculo matricial
([L] *[U])*[X]= [B]
[L]*([U]*[X])= [B]
Haciendo [Y]=*([U]*[X])
Tenemos [L] *[Y]= [B]
[Y]= [L] \ [B]
Primero hallamos [Y]
Siendo [L]= el sistema es de fácil solución y se resuelve ↓
Conocido [Y] tenemos [U]*[X]= [Y] pero siendo
[U] = y se resuelve fácilmente ↑
El método es aplicable si [A] es definida positiva (esto es si sus determinante principales son positivos) además en muchos caso es posible transformar [A]en definida positiva permutando sus filas
[X]= [U] \ [Y]

MATLAB
3.1. Definición de matrices desde teclado
Como en casi todos los lenguajes de programación, en MATLAB las matrices y vectores son variables
que tienen nombres. Ya se verá luego con más detalle las reglas que deben cumplir estos nombres.
Por el momento se sugiere que se utilicen letras mayúsculas para matrices y letrasminúsculas
para vectores y escalares (MATLAB no exige esto, pero puede resultar útil).
Para definir una matriz no hace falta declararlas o establecer de antemano su tamaño (de hecho, se
puede definir un tamaño y cambiarlo posteriormente). MATLAB determina el número de filas y de
columnas en función del número de elementos que se proporcionan (o se utilizan). Las matrices se
definen o introducen porfilas6; los elementos de una misma fila están separados por blancos o
comas, mientras que las filas están separadas por pulsaciones intro o por caracteres punto y coma
(;). Por ejemplo, el siguiente comando define una matriz A de dimensión (3×3):
>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
La respuesta del programa es la siguiente:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A partir de este momento la matriz A estádisponible para hacer cualquier tipo de operación con ella
(además de valores numéricos, en la definición de una matriz o vector se pueden utilizar expresiones
y funciones matemáticas). Por ejemplo, una sencilla operación con A es hallar su matriz traspuesta.
En MATLAB el apóstrofo (') es el símbolo de transposición matricial. Para calcular A'
(traspuesta de A) basta teclear lo siguiente (se añade acontinuación la respuesta del programa):
>> A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Como el resultado de la operación no ha sido asignado a ninguna otra matriz, MATLAB utiliza un
nombre de variable por defecto (ans, de answer), que contiene el resultado de la última operación.
La variable ans puede ser utilizada como operando en la siguiente expresión que se introduzca.
También podría haberseasignado el resultado a otra matriz llamada B:
6 Aunque en MATLAB las matrices se introducen por filas, se almacenan por columnas, lo cual tiene su importancia
como se verá más adelante.
Aprenda Matlab 7.0 como si estuviera en Primero página 24
>> B=A'
B =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Ahora ya están definidas las matrices A y B, y es posible seguir operando con ellas. Por ejemplo, se
puedehacer el producto B*A (deberá resultar una matriz simétrica):
>> B*A
ans =
66 78 90
78 93 108
90 108 126
En MATLAB se accede a los elementos de un vector poniendo el índice entre paréntesis (por ejemplo
x(3) ó x(i)). Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dos índices entre paréntesis,
separados por una coma (por ejemplo A(1,2) ó A(i,j)). Las matrices se almacenan por...