Clases

Clases
Se entiende por clase una pluralidad o conjunto de individuos que tienen una misma propiedad o propiedades. Según el diagrama de la introducción a la lógica, en la lógica proposicional, hemos estudiado las oraciones o juicios, las proposiciones y los razonamientos. En la lógica de clases, nos ocupamos de los conceptos que designan un grupo de objetos con las mismas propiedades ocaracterísticas. Estos grupos de objetos, son las clases.
En el lenguaje formal las clases se representan con letras mayúsculas empezando por la .
[editar] Elementos de una clase
Cada uno de los objetos integrantes de una clase, es un elemento o miembro de la clase. La relación existente entre un elemento y la clase de la que es miembro, se llama relación de pertenencia, el elemento pertenece a la clase,se simboliza: [ ]; este símbolo deriva de la palabra griega estí, que significa es. Por ejemplo Madrid pertenece a las capitales europeas. .
En general , quiere decir que  es un elemento de . Cuando quiero expresar que un elemento no pertenece a una clase, utilizo el símbolo:  . Por ejemplo México , quiere decir que México no pertenece a las capitales europeas.
Las clases se pueden definirpor extensión y comprensión. Por extensión enumerando sus elementos; por comprensión expresando sus propiedades comunes. La comprensión expresa su definición en términos de idea o concepto, es decir el significado de la clase o del concepto. La extensión hace referencia a sus elementos o bien de forma total:  o bien de forma parcial:  .
[editar] Relaciones entre clases
1. Si todos los elementosde  son también de  y viceversa, las clases son idénticas o iguales: .
2. En el caso de que ningún elemento de  sea elemento de  y viceversa, las clases son disjuntas: Por ejemplo la clase de los madrileños y la de los sevillanos: .
3. Si ambas clases tienen al menos un elemento en común, se expresa así:  y también  . El signo  se llamacuantificador universal, quiere decir que hay al menos un elemento.4. Todos los elementos de la clase  son también de la clase , Pero no a la inversa.  es una subclase de  o está incluida en . . Por ejemplo: Los alumnos de primero de la Educación Secundaria Obligatoria y los alumnos de todo el Colegio.
5. Clase unitaria es la que sólo tiene un elemento. Ejemplo: Presidente o Presidenta del gobierno.
6. Clase vacía es la que no tiene ningún elemento. Serepresenta: 
[editar] Operaciones con clases
Si tenemos varias clases, se puede establecer entre ellas varias operaciones semejantes a la lógica proposicional.
[editar] Suma Lógica

Ejemplo: Los gatos y los seres grises = Todos los gatos y todos los seres grises, elefantes, trajes etc.
[editar] Producto lógico
Son los elementos comunes entre ambas clases:

En el ejemplo anterior el productológico, son los gatos grises.
[editar] Diferencia lógica de clases
. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
Los gatos que no son grises: 
[editar] Diferencia simétrica de clases
Los elementos que pertenecen a  y que pertenecen a  pero no a ambos:

[editar] Clase complementaria
Si establecemos la clase  universal y otra , que es subclase de , la clase complementaria de , es laclase constituida por los elementos que pertenecen a  y no pertenecen a :

Si tomamos como clase universal  a los españoles y como clase , los habitantes de la comunidad de Madrid, la clase complementaria son todos los españoles que no viven en la comunidad de Madrid.

[editar] Leyes de la lógica de clases
Las más importantes son:
[editar] Idempotencia

[editar] Conmutativa[editar] Asociativa

[editar] Distributiva

[editar] Identidad

[editar] Complementaridad

[editar] Doble Complementaridad

[editar] Leyes de Absorción

[editar] Leyes de De Morgan

Las demostraciones de estas leyes se realizan por las tablas de pertenencia, semejantes a las tablas de verdad en la Lógica proposicional:
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