ClaseSN 2011I Parte1

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
La idea básica de un método numérico para la solución de una ecuación
diferencial de primer orden con valor inicial:
y ' = f( t, y) con y(t 0)=y0 ; esaproximar, de alguna, manera, los valores de y de una solución para valores
preestablecidos de t.
Se comienza con un punto inicial (t 0,y 0) en una curva solución y se procede a
calcular, paso a pasouna sucesión de puntos (t1, y1), (t2, y2),...,(t n, y n) cuyas
ordenadas y i se aproximen a las ordenadas y(t i) de los puntos (t1, y(t1)),
(t2,y(t2)),...,(tn, y(tn)) que están en la gráfica de lasolución y(t), generalmente
desconocida. Al tomar las abscisas cercana entre sí (esto es, para valores
pequeños de h) y unir los puntos (t1, y1), (t2, y2),...,(t n, y n) mediante segmentos
se obtiene unacurva poligonal cuyas características cualitativas, se esperan,
sean cercanas a las de la curva real de la solución.
Cualquier método numérico usado para solucionar un problema de valor inicial
NOencuentra una función derivable que sea solución del problema de valor
inicial; en lugar de ello, lo que determina el método es un conjunto finito de
puntos {(tk,yk)} que son aproximaciones de lasolución, o sea que.

y(t k ) 
yk



valorexacto

valor aproximado

 dy
 f(t,y)

 dt
 y(a)  y a , y(b) = ?


Y



(t2, y(t2))
y2


(t1, y(t1)) 

y1
yO










Solución
exacta

errorerror


a=tO

t1

t2

...

tn=b

t

MÉTODOS DE UN PASO
Los método de aproximación a la solución del problema de valor
inicial: y’ =f(t,y), con y(t0)=y0, se llaman método de diferencia ó
método devariable discreta. En este tipo de métodos, la solución
se aproxima en un conjunto finito de puntos, denominados
nodos.
Un método elemental de la forma:
y k+1 = y k + h ( t k, y k), para cierta funciónincremental, se dice
que es de paso simple o de un solo paso, porque en el cálculo
del nuevo punto sólo interviene de manera explícita el punto
inmediatamente anterior.
Ejemplos de métodos de un...