Clasificación de formas cuadráticas


Geovanna Vivanco Abarca
1756205
Universidad Autonóma de Guadalajara
Actuaría
Grupo 3010
Algebra Lineal
Paola Zatarain
Definición:
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos delespacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo

La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como

donde

Denotaremos por la matriz que define lacuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en A.
Clasificación:
Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signaturas, es decir, el módulo de la diferencia entre el número deautovalores positivos y negativos de A00 .
Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz. Ello es debido a la existencia de unas cantidades invariantesasociadas a A00 que permiten determinar s sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores.
Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las solucionesde la ecuación . Ahora bien,

con

Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos , es decir det A00 ¹ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos P y V alnúmero de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = s. I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
1. Si s = 3 :
1. det A >0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)
3. det A = 0 ---> cono imaginario
2. Si s = 1 :
1. det A > 0 --->hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas)
3. det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A esdistinto de cero, entonces;
1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico
2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si det A = det A00 = 0 hay que introducir nuevos invariantes para completar la...