Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales

Ahora veamos como se clasifican las ecuaciones.
Dependiendo de la cantidad de variables independientes, respecto de las que se deriva:
Ordinarias: Una solo variable independiente.
Parciales: Dos o mas variables independientes.
POR ORDEN
El orden de la derivada mayor que existe en la ec. Diferencial, entiendase por orden a la cantidad de veces que se deriva una funcion ejemplo:
el orden es 3puesto que la mayor de las derivadas es y“`.
POR GRADO
Es el grado de la derivada de mayor orden que existe en la ecuacion diferencial.Entiendase por grado la potencia a la que esta elevada la derivada. ejemplo:
el grado de esta ecs. es 2 ya que y“` esta elevada ala segunda potencia.
LINEALIDAD
Se dice que una ecuacion diferencial es lineal si la varianle dependiente y sus derivadas son degrado 1 y que estas no aparezcan como argumento ni como coeficiente.
1. Definiciones y Notaci´on
DEF. Una ecuaci´on que establece una relaci´on entre la variable independiente x, la funci´on buscada
y = y(x) y sus derivadas y, y0, y00, ..., yn) se llama ecuaci´on diferencial.
Notaci´on:
F(x, y, y0, y00, · · · , yn)) = 0
F(x, y,
dy
dx
,
d2y
dx2 , · · · ,
dny
dxn ) = 0
yn) = f(x, y,y0, y00, · · · , yn−1))
DEF.Llamamos integrar la ecuaci´on diferencial al proceso por el que se encuentra, a partir de la
ecuaci´on diferencial dada, la relaci´on directa entre x e y.
2. Clasificaci´on
Las ecuaciones diferenciales se clasifican seg´un su tipo, orden y linealidad:
Seg´un su tipo distinguimos entre:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones contienen ´unicamentederivadas
ordinarias respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o m´as
variables independientes.
DEF. Se llama orden de una ecuaci´on diferencial al orden de la derivada superior que interviene
en la ecuaci´on.
DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuaci´on diferencial como el grado de y(x) y
susderivadas.
3. Ecuaciones lineales
DEF. Se dice que una ecuaci´on diferencial yn) = f(x, y, y0, · · · , yn−1)) es lineal cuando f es una
funci´on lineal de y, y0, ..., yn−1).
Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · · + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x)
Se trata de una ecuaci´on diferencial de grado 1 en y y en todas sus derivadas.
Cada coeficiente s´olo depende de x.
4. Soluciones
DEF. Sellama soluci´on (o integral) de la ecuaci´on diferencial a cualquier funci´on y = y(x) que
introducida en la ecuaci´on diferencial la transforma en igualdad.
Tipos de soluciones:
Expl´ıcitas: La variable dependiente y se expresa tan s´olo en t´erminos de la variable independiente
x y constantes.
Impl´ıcitas: Se trata de una relaci´on G(x, y) = 0 en la que no se puede despejar y mediantefunciones elementales. Son soluciones todas las y(x) que cumplen G(x, y) = 0.
Una ecuaci´on diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las
posibles elecciones de valores para los par´ametros.
DEF. Se dice que la familia n-param´etrica
G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0
es la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial de orden n si toda soluci´on de esa ecuaci´on sepuede obtener partiendo de esa familia. Cada vez que se asignan valores a los par´ametros se tiene una
soluci´on particular.
5. Problemas de valor inicial
DEF. Se llama problema de valor inicial al problema:
_
Resolver yn) = f(x, y, y0, · · · , yn−1))
Sujeta a: y(x0) = y0, y0(x0) = y1, · · · , yn−1)(x0) = yn−1
donde y0, y1, ..., yn−1 son constantes reales llamadas condiciones iniciales.Caso Particular: Problema de valor inicial de 1o orden
_
Resolver y0 = f(x, y)
Sujeta a: y(x0) = y0
Interpretaci´on geom´etrica: De todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial se busca la curva que
pasa por (x0, y0)
Teorema de Picard (Existencia y unicidad de soluci´on de la ecuaci´on diferencial de 1o orden en
forma normal)
Dada la ecuaci´on y0 = f(x, y) si, f,
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