clasificacion de los numero

CONSTRUCTIVISMO Y FORMALISMO: DOS FORMAS DIFERENTES DE VER LA MATEMATICA
En las próximas líneas hablaremos de dos tendencias que han coexistido a lo largo de la historia de las Matemáticas y que a lo largo de ella han aparecido enfrentadas la una con la otra, hablamos del constructivismo y del formalismo.
Desde la época de Aristóteles y Platón se ha creído que las matemáticas existen conindependencia del conocimiento humano y que son una verdad absoluta, y así, el trabajo de los matemáticos era el descubrir esa verdad, en lo que personalmente estoy de acuerdo. Pero antes de dar ninguna opinión veamos como se desarrolló esta idea a lo largo de la historia.
El embrollo viene cuando algunos matemáticos niegan esta idea de matemáticas independientes del conocimiento humano. Así, unmatemático alemán llamado Leopold Kronecker escribió: "Dios creó los números enteros y todo lo demás es obra del hombre". Según el, el trabajo de los matemáticos ya no es descubrir, sino inventar. Esta es la principal idea de la llamada matemática constructivista, que afirma que para probar la existencia de un objeto matemático existe es necesario mostrar como puede construirse. El filósofo ImmanuelKant afirmó en el s.XVII que la razón ultima de veracidad en la matemática residía en el hecho de que sus nociones puedan ser construidas por la mente humana.
Sobre todo, la idea matemática que a producido mayor controversia en la historia de las matemáticas ha sido la noción de infinito.
Ya los griegos procedieron con extrema cautela en lo concerniente al infinito. Euclides, al referirse arectas se refería a segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos, y esta es la noción de infinito potencial. Podemos pensar también que existen en verdad rectas infinitamente largas que es la noción de infinito actual y es metafísicamente muy distinta a la anterior.
Esta noción de infinito actual no es utilizada por los matemáticos hasta bien entrada la era moderna de lamatemática que comienza en el s.XVII cuando René Descartes y Pierre de Fermat introducen las coordenadas cartesianas produciendo un cambio fundamental en el desarrollo de las matemáticas: los objetos empiezan a ser números y no longitudes.
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollan a partir de ese cambio el cálculo diferencial, que maneja números infinitamente pequeños pero distintos de cero.Pero este descubrimiento produjo serias discusiones con los matemáticos de la época y pasó algún tiempo hasta que estos vieron su innegable utilidad y comenzaron a aceptarlo, aunque dudando de su base filosófica.
Aun así, toda esta controversia produjo a finales del s.XIX una de las teorías más importantes (y porqué no decirlo, más discutidas) de la historia de las matemáticas: la teoría deconjuntos, que fue desarrollada sobre todo por el matemático Georg Cantor.
Cantor definió los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes consecuencias sobre la noción de infinito, ya que hay conjuntos que por su naturaleza son infinitos actuales, como por ejemplo *.
El estudio de estos objetos condujo a Cantor a la conclusión de que igual que varía lacardinalidad de los conjuntos finitos, también varía la de los conjuntos infinitos, por ejemplo, * y * no tienen la misma cardinalidad ya que * es "más infinito" que *. Cantor demostró también que para cada conjunto infinito, existe otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extraño, muchos matemáticos de la época encontraron absurda la noción de conjunto infinito como ente individual.
Noobstante, todavía produjo más escándalo las aplicaciones que Cantor dio a los conjuntos infinitos. Una de ellas fue el procedimiento que ideó para demostrar que existen infinitos números transcendentes, esto es, números que no verifican ninguna ecuación de la forma :
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0 con ai" "i
Demostró primero que el conjunto de los números algebraicos (los que si verifican alguna de...